一题多解
探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利
的。

下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的： 例：如图（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，四边形ACED 是平行四边形，延长DC 交BE 于F. 求证：EF=FB
分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下：
I E F
B
C
A
证明一：如图所示，作BQ∥AD,交DF 延长线于Q 点，则四边形ABQD 是平行四边形，从而BQ=AD ，再由题设可证△CEF≌△QBF, 得证EF=FB.
Q I
E
F B
C
A
证明二：如左图所示：作FM∥DA 交AB 于M ，则四边形ADFM 是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证.
M
I
E
F
B
C
A
证明三：作CN∥EB 交AB 于N ，则四边形CNBF 是□，从而CN=FB. 再证：△ANC≌△DFE，可得CN=EF ，即EF=FB.
N
I
E
F
B
C
A
证明四：作DP ∥FB 交AB 于P ，证明△ADP ≌△CEF ，从而得出结论.
P
I
E
F B
C
A
证明五：延长EC 交AB 于G ，则四边形ADCG 是□，∴CE=AD=GC ，即C 是EG 中点.又CF ∥GB ，∴F 是EB 中点，结论得证.
G
I
E
F B
C
A
证明六：连结AE 交CD 于O 点，则O 是AE 中点，又OF ∥AB ， ∴F 是AB 中点，得证.
I
E
F B
C
A
证明七：延长ED 交BA 延长线于H 点，则HACD 是□ ,
∴CA=DH=ED ∴D 是EH 中点.又DF ∥HB ∴F 是EB 中点，得证.
H
I
E
F B
C
A
证明八：作ES ∥CD 交AD 延长线于S ，则CDSE 是□ ∴DS=CE=AD, ∴D 是AS 中点.又SE ∥CD ∥AB ∴F 是EB 中点，得证.
S I
E F B
C
A
证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ ，则可得ECBQ 是□，从而F 是□ECBQ 对角线EB 的中点。

总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种：
①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。

②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。

这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。