几何探究题（一）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，将△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC 1、BD 1，AC 1与BD 1交于点P . （1）如图1，若四边形ABCD 是正方形.①求证：△AOC 1≌△BOD 1.②请直接写出AC 1 与BD 1的位置关系.（2）如图2，若四边形ABCD 是菱形，AC =5，BD =7，设AC 1=k BD 1.判断AC 1与BD 1的位置关系，说明理由，并求出k 的值.（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC =5，BD =10，连接DD 1，设AC 1=kBD 1.请直接写出k 的值和 的值.解：（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形∴ＡＣ＝ＢＤ，OC ＝OA=21ＡＣ，ＯＤ＝OB=21ＢＤ ∴OC=OA=ＯＤ＝OB ，∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到∴O C 1= OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1 ∴O C 1= O D 1 ∠AO C 1=∠BO D 1∴△A O C 1≌△BOD 1………………………………３分 ②ＡC 1⊥BD 1………………………………………４分 （2）ＡC 1⊥BD 1…………………………………………５分理由如下：∵四边形ABCD 是菱形∴OC ＝OA=21ＡＣ，ＯＤ＝OB=21ＢＤ，AC ⊥BD∵△C 1OD 1由△COD 绕点O 旋转得到∴O C 1= OC ，O D 1=OD ，∠CO C 1=∠DO D 1 ∴O C 1＝OA ，O D 1＝OB ，∠AO C 1=∠BO D 1∴OB OD OA OC 11=∴OBOA OD OC =11 2121)(kDD AC +PA BCDD 1 OC 1 C DAB D 1PC 1O图1 图2 图3第25题图CDABD 1P C 1 OPABCD D 1OC 1图1CDABD 1 PC 1O图2CDABD 1P C 1 O图3 第25题图∴△A O C 1∽△BOD 1………………………………７分∴∠O AC 1= ∠OB D 1又∵∠AOB=90°∴∠O AB+∠ABP+∠OB D 1=90° ∴∠O AB+∠ABP+∠O AC 1=90° ∴∠APB=90° ＡC 1⊥BD 1∵△A O C 1∽△BOD 1∴75212111====BD AC BD ACOB OA BD AC ∴75=k ……………………………………… ９分（其它方法按此标准赋分）（3）21=k …………………………………………… １０分25)(2121=+kDD AC …………………………………１２分（2014•德州）问题背景：如图1：在四边形ABC 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点： 全等三角形的判定与性质． 分析：问题背景：根据全等三角形对应边相等解答； 探索延伸：延长FD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，再求出∠EAF=∠GAF ，然后利用“边角边”证明△AEF 和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．解答：解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EAF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．FEDCBAFEDCBA点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．（达州市）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径。

下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题。

习题解答：习题 如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，连接EF ，则EF=BE+DF ，说明理由。

解答：∵正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把⊿ABE 绕点A 逆时针旋转90°至⊿ADE /，点F 、D 、E /在一条直线上。

∴∠E /AF=90°-45°=45°=∠EAF ， 又∵AE /=AE ，AF=AF ∴⊿AE /F ≌⊿AE F （SAS ） ∴EF=E /F=DE /+DF=BE+DF 。

习题研究观察分析 观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD 是四边形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上；②AB=AD ；③∠B=∠D=90°； ④12EAF BAD ∠=∠。

答：成立。

类比猜想（1）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB=AD ， ∠B=∠D ，12EAF BAD ∠=∠时，还有EF=BE+DF 吗？答：不一定成立。

研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱 形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当∠BAD=120°，∠EAF=60° 时，还有EF=BE+DF 吗？答：BE+DF φEF.（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB=AD ，∠B+∠D=180，12EAF BAD ∠=∠时，EF=BE+DF 吗？答：成立。

归纳概括反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，12EAF BAD∠=∠时，总有EF=BE+DF 成立。

（2014年浙江嘉兴）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．考点：四边形综合题．分析：（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；②举例画图；（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．解答：解：（1）如图1∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，②不正确，反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD，（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10，∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC===2（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，∴AE=2，DE=2，∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2，∵∠BCD=60°，∴CF=，∴BC=CF+BF=+2=3，∴AC===2．点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念． （临沂市）问题情境：如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分DAM ∠.探究展示：（1）证明：AM AD MC =+； （2）AM DE BM =+是否成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.拓展延伸：（3）若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形， 其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结 论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.证明： （1）（本小问4分）方法一：过点E 作EF ⊥AM ，垂足为F .∵AE 平分∠DAM ，ED ⊥AD ， ∴ED=EF . ··································· （1分） 由勾股定理可得, AD=AF . ······································ （2分） 又∵E 是CD 边的中点， ∴EC=ED=EF . 又∵EM=EM ，∴Rt △EFM ≌Rt △ECM . ∴MC=MF .············································· ·········································· （3分） ∵AM=AF+FM ， ∴AM=AD+MC . ················································································· （4分） 方法二：连接FC . 由方法一知，∠EFM=90°, AD=AF ，EC=EF . ······························ （2分） 则∠EFC=∠ECF ， ∴∠MFC=∠MCF . ∴MF=MC .························································································ （3分） ∵AM=AF+FM ， ∴AM=AD+MC . ················································································· （4分） 方法三：延长AE ，BC 交于点G .∵∠AED=∠GEC ，∠ADE=∠GCE=90°，DE=EC ， ∴△ADE ≌△GCE .∴AD=GC , ∠DAE=∠G . ······································································ （2分） 又∵AE 平分∠DAM ，ABM D EC图1A BM图2 D EC （第25题图）C G∴∠DAE=∠MAE ， ∴∠G=∠MAE ， ∴AM=GM ， ····················································································· （3分） ∵GM=GC+MC=AD+MC ， ∴AM=AD+MC . ················································································· （4分） 方法四：连接ME 并延长交AD 的延长线于点N ， ∵∠MEC ＝∠NED ， EC ＝ED ，∠MCE ＝∠NDE=90°， ∴△MCE ≌△NDE .∴MC=ND ，∠CME=∠DNE . ································································ （2分） 由方法一知△EFM ≌△ECM ， ∴∠FME=∠CME ， ∴∠AMN=∠ANM . ·············································································· （3分） ∴AM=AN=AD+DN=AD+MC. ······························································· （4分） （2）（本小问5分）成立. ········································· （1分） 方法一：延长CB 使BF=DE ，连接AF ，∵AB=AD ，∠ABF=∠ADE=90°，∴△ABF ≌△ADE ，∴∠F AB=∠EAD ，∠F=∠AED. ······· （2分）∵AE 平分∠DAM ，∴∠DAE=∠MAE . ∴∠F AB=∠MAE ，∴∠F AM=∠F AB+∠BAM=∠BAM+∠MAE=∠BAE. ··································· （3分） ∵AB ∥DC ，∴∠BAE=∠DEA ， ∴∠F=∠F AM ， ∴AM=FM. ························································································ （4分） 又∵FM=BM+BF=BM+DE ， ∴AM=BM+DE. ·················································································· （5分） 方法二：设MC=x ，AD=a.由（1）知 AM=AD+MC=a+x. 在Rt △ABM 中，∵222AM AB BM =+，∴222()()a x a a x +=+-， ···································································· （3分）∴14x a =. ························································································· （4分）∴34BM a =，54AM a =，∵BM+DE=315424a a a +=，AB M D EC F∴AM BM DE =+. ············································································· （5分） （3）（本小问2分） AM=AD+MC 成立， ··········································································· （1分） AM=DE+BM 不成立. ·········································································· （2分）（日照市）（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．求证：CE ＝CF ；（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠GCE ＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE ＝BE ＋GD ．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，DE =10, 求直角梯形ABCD 的面积．解答：（1）证明：在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ．∴CE ＝CF ． …………………………2分（2）证明： 如图2，延长AD 至F ，使DF =BE ．连接CF ． 由（1）知△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD 即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°．∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG ．…………………………5分 ∴GE ＝GF∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ． ……………6分（3）解：如图3，过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°，又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 为正方形．∴AG ＝BC ．…………………………7分 已知∠DCE ＝45°，根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG ．……8分所以10=4+DG ，即DG =6.设AB ＝x ，则AE ＝x －4，AD ＝x －6在Rt △AED 中， ∵222AE AD DE +=，即()()2224610-+-=x x ．（第23题图1） E B （第23题图3）B CA DE （第23题图2）（第23题答案图2）B C A D E G （第23题答案图3）解这个方程，得：x ＝12，或x ＝－2（舍去）．…………………………9分 ∴AB ＝12．所以梯形ABCD 的面积为S=.10812)126(21)(21=⨯+=+AB BC AD 答：梯形ABCD 的面积为108. …………………………10分（齐齐哈尔）在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC.以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）.如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD=DP.(无需写证明过程)（1）在图2中，DE 与CA 延长线交于点P ，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予 证明，如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE 与AC 延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.（2014•内江）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合），连结AD ． 问题引入：（1）如图①，当点D 是BC 边上的中点时，S △ABD ：S △ABC = 1：2 ；当点D 是BC 边上任意一点时，S△ABD ：S △ABC = BD ：BC （用图中已有线段表示）． 探索研究：（2）如图②，在△ABC 中，O 点是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），连结BO 、CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 拓展应用：（3）如图③，O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），连结BO 并延长交AC 于点F ，连结C O 并延长交AB 于点E ，试猜想++的值，并说明理由．考点： 相似形综合题 分析： （1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．图3图2图1MEDCBANPP PM E DC BA NN ABCD E M解答：解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S：S△ABC=1：2；当点D是BC△ABD边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案为：1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，如图②作OE⊥BC与E，作AF⊥BC与F，，∵OE∥AF，∴△OED∽△AFD，．∵，∴；（3）++=1，理由如下：由（2）得，，．∴++====1．点评：本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．（衢州市）提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O ，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD 中，点H ，E ，G ，F 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上，若EF ⊥HG 于点O ，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由； 综合运用：（3）在（2）问条件下，HF ∥GE ，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO ，求图中阴影部分的面积。