河南科技学院2004-2005学年第二学期期终考试
高等数学试题（B ）
适用班级：农学042--5、园艺042--5、园林042--3、动科042--5、动医042--5、烹饪041--2
注意事项：1.在试卷的标封处填写院（系）、专业、班级、姓名和准考证号。

2.考试时间共100分。

一、选择题（35
15¢?）
1． 若()()f x dx F x c =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ A 2(1)F x c -+ B 2(1)F x c --+ C 2
1(1)2
F x c --+ D
2
1(1)2
F x c -+
2．下列选项中正确的是
A 54
2
4
(1sin )2x dx ππ
ππ≤
+≤⎰
B
2
1
0x
e
dx --≤⎰
C
4
443
2
3
3
3
ln ln ln x xdx xdx <
<
⎰⎰
⎰ D 2
2
2
4
22x
e e dx e <
<⎰
3．2
2
3()ln(1)x
x t dt Φ=
+⎰
，则
d dt
Φ=
A 4
2ln(1)x x + B 2
ln(1)x + C 2
2
4ln(1)x x + D 2
2ln(1)t t + 4．x y =在空间直角坐标系中代表的几何图形是 A 一条直线，过原点 B 只穿过第I 、III 象
C 垂直于xo y 面的一个平面
D 和xo y 面夹角为4
π
5．
2222
2
2
1x y z a
b
c
+
+
=对应的图形是
A 一个椭球体
B 椭球面
C 抛物线
D 抛物面 二、填空 （45
20ⅱ?）
1．若()sin x f x dx e x =⎰，则()f x =
2．1
5
1
sin xdx -⎰=
3．曲线弧()y f x =位于a x b ≤≤之间的弧长公式是 4．平面3560x y z ++-=外一点p(1,1,1)到平面的距离为 5．直线345x y z +++==与平面681050x y z ++-=的位置关系为
二、计算题（5630¢?）
1．2
11
dx x -⎰ 2.x
⎰
3. 1
1
x
x
dx
e
e
--+⎰ 4.1
ln e
x xdx ⎰.
5
．8
⎰
－ 6.2
3
lim
sin x
x t dt
x
→+⎰
四、综合题 1．已知sin x x
是()f x 的原函数，求()xf x dx ⎰（6¢）
２．求2
()x
t
x te
dt -ψ=⎰的极值点。

（7¢）
３．求过p (0,1,1)且同时垂直于直线3122
1
2
x y z ---=
=
,
6
2
3
x y z =
=
的直线方程。

（7¢）
五、证明广义积分()
b
p
a
dx x a -⎰
（p>0）1p ≥ 时发散,1p <时收敛。

（7¢）
六、解答题
求由抛物线2,2y x x ==及x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转所成的旋转体的体积。

（8¢）
2004—2005第二学期期终考试试卷(B)答案:
适用班级：农学042--5、园艺042--5、园林042--3、动科042--5、动医042--5、烹饪041--2 一、 选择题(35'⨯)
1. C
2. A
3. A
4. C
5. B 二、 填空题(45'⨯)
1. (sin cos )x e x x +
2. 0
3.
b
a
⎰
4.
5. 垂直
三、 计算(57'⨯) 1.解:
2
1
1dx x
-⎰ 2.解:
令t =
则2tdt dx = =
11
1(
)211dx x x --+⎰
x
⎰=2
21
t tdt t ⋅+⎰
=11
11
21
2
1
dx dx x x -
-+⎰⎰ =2
2
1121
t dt t +-+⎰
=21dt ⎰2
11
dt t -+⎰
=
11ln
2
1
x c x -++ =2arctan t t c -+
=arctan
c -+
3.解:
1
1
x
x
dx
e
e
--+⎰ 4.解:1
ln e
x xdx ⎰
=1
211
x
x
e dx e
-+⎰
=2
1
ln 2
e
x
xd
⎰=
2
2
1
1
1ln 2
2e
e
x
x
x dx x
-
⋅⎰
=1
21
1
x
x
de e
-+⎰
=1
arctan arctan e e -- =
2
2
12
4
4
e
e
-
+
=
2
14
4
e
+
5
t =，则3x t =，23dx t dt =
8
2
2
21
1
313314
4
t dt tdt t
---
=
=
=-
=
⎰
⎰
⎰
6．解：2
2
20
3
3
2
1lim
lim
lim
sin 33
x
x
x x x t
dx
t
dx
x
x x
x
→+→+→+===
⎰⎰
四、综合题（677)'''++ 1．解：由题知，sin ()(
)x f x x '=
()()xf x dx xdf x '=⎰⎰
=sin ()x x f x dx x
⋅
-
⎰
=sin sin x
x x c x
-
+
２．解：由题知，(,)x ∈-∞+∞
2
()x
x xe
-'ψ=，当()0x 'ψ=时，0x =
所以（0，0）是()x ψ极值点
３．解：令{}{}2,1,2,6,2,3a b →
→
==，由题可知，所求直线的方向矢量为a b →
→
⨯，而
a b →→⨯= 212626
2
3
i j k
i j k =---
所以所求直线方程为：1116
2
x y z --==
五、证明题 (7)'
证明：因为1lim ()
p
x a x a +
→=+∞-，所以x a =是间断点。

当1p =时，0
11lim
lim ln()
b
b
b a a
a dx dx x a x a
x a
ε
εεε
+→→+==---⎰
⎰
=[]0
lim ln()ln b a εε→--=+∞，
发散。

当1p ≠时，
10
01lim
lim ()()
()
1b
b
b
p p
p
a
a a dx
dx x a x a x a p
εεε
ε-→→++⎡⎤
==-⎢⎥---⎣⎦⎰⎰
=1101lim ()1p p b a p
εε--→⎡⎤--⎣⎦- 当1p >时，()
b
p
a
dx x a -⎰
=+∞，当1p <时，()
b
p
a
dx x a -⎰
=
11()
1p
b a p
---
因此，当1p ≥时，该广义积分发散，当1p <时，该广义积分收敛，其值等于11()
1p
b a p
---。

六、解答题(8)'
解：绕x 轴旋转所得的旋转体体积为
22
22
4
5
325
5
x V y dx x dx x
πππ
π===
=
⎰⎰
绕y 轴旋转所得的旋转体体积为
4
4
4
2
2
2
1(2)(4)(4)2
y V x dy y dy y y πππ=-=-=-
⎰⎰=8π。