若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
a2 b2
2，
ab
当且仅当 a=b 时取等号。
8、例题 例 8、最大容积问题：有一块边长为 1 米的正方形硬纸板，在 它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一个无盖的盒子。 如果要使制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长 应为多少米？
9、推广②
若 a 0,b 0, c 0，则 a b c 3 abc 。 3
0 )的最小值；
（3）求 y x2 (2 3x)(0 x 2) 的最大值； 3
（4）设 a b 0，求 y 2a 1 的最小值。
b(a b)
习题
1、设 a, b, c R ，求证：
a b c ab bc ca 。 2、已知 a, b, c R ，求证：
bca cab abc 3。
（3）设 x，y 均为正实数，且2＋1 x＋2＋1 y＝13，
则 xy 的最小值为________； （4）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值
是_________；
（5）设 0＜m＜12，若m1 ＋1－22m≥k 恒成立，则 k 的最大值
为______。
7、推广①
若 a 0,b 0 ，则
（2）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是_________；
（3）设 0＜m＜12，若m1 ＋1－22m≥k 恒成立，则 k
的最大值为______。
6、（1）若 0 x 2 ,则 x2 (2 3x) 3
（1）若 a 2b 1 ，则 ab 的最大值是 ； （2）若 ab 1 a b ，则 a b 的最小值是
；
（3）若 a 2 b2 1 ，则 a 1 b2 的最大值
2
是
。
例 7、已知 a 0,b 0, c 0，
(1)若 a b ，则 a2 1 2 的最小值是 a(a b) ab
a
b
c
3、设 a, b, c R ，求证：
abc (a b c)(b c a)(c a b) 。
4、已知 a 0,b 0, c 0，
(1)若 1 9 1，则 a b 的最小值是
；
ab
(2)若 a >b >c，且 1 1 n , 则 n ab bc ac
的最大值是
。
5、（1）设 x，y 均为正实数，且2＋1 x＋2＋1 y＝13， 则 xy 的最小值为________；
；
(2)若 a2 2ab 2ac 4bc 12 ，
则 a b c 的最小值是
；
(3)若 1 9 1，则 a b 的最小值是
；
ab
(4)若 a >b >c，且 1 1 n , 则 n 的最 ab bc ac
大值是
。
6、练习
（1） x
8 的最小值是_________； x 1
（2）若 0 x 4 ，y则 x(4 3x) 的最大值是_________； 3
第2章 不等式
2.4 基本不等式及其应用
1、引入 在客观世界中，有些不等关系是永远成立的.例如,
在周长相等时,圆的面积比正方形的面积大,正方形的面 积又比非正方形的任意矩形的面积大.
在实数集中,任意一个数的平方都是非负的:若
a R ,则 a2 0 .由此,可以得到几个基本且重要的恒
成立不等式.
abc (a b c)(b c a)(c a b) 。
5、例题 例 4、求证：在周长相等的矩形中，
正方形面积最大。
最值定理： 1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即
若 a、b∈R＋，且 a＋b＝M，M 为定值，பைடு நூலகம் ab M 2 ， 4
等号当且仅当 a＝b 时成立； 2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即
x
x
2、设 a,b,c R ，求证：
a4 b4 c4 abc(a b c) 。
3、设 a, b, c R ，求证： a b c ab bc ca 。
4、已知 a, b, c R ，求证：
bca cab abc 3。
a
b
c
5、已知 a, b, c R ，求证：
111 9 。 a b c abc 6、设 a, b, c R ，求证：
当且仅当 a b c 时取等号。
10、例题
例 9、已知 a, b, c R ，求证：
（1）
a b
b c
c b a a
c b
a c
9
；
（2） a b c 3 。 bc ca ab 2
例 10、（1）求 y x2 2 (x 0) 的最小值； x
（2）求
y
6x
2 3x 2
(
x