2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）1．点（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是．2．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是．3．已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）4．有一台电脑中了病毒，经过两轮传染后共有400台电脑中了病毒，那么每轮传染中平均每台传染给台电脑．5．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是．6．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆O n的半径分别是r1，r2，…，r n，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝．二、选择题（本题共8个小题，每小题4分，满分32分）7．下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上8．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．140°9．关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤且a≠0 B．a≤C．a≥且a≠0 D．a≥10．下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．11．将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3 12．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°14．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，与x轴交点为（3，0），（﹣1，0），则下列说法正确的有（）①a＞0 ②2a+b＝0③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本题共9个小题，满分70分）15．解方程：6x2﹣x﹣2＝0．16．甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是．（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；并写出点A1，B1，C1的坐标．（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，AP＝2，求⊙O的半径．20．某校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？21．如图，▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）22．某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获利润最大？23．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点：①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②在抛物线的对称轴上找出一点Q，使BQ+CQ的值最小，并求出点Q的坐标．参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．点（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣5）．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（﹣2，5）关于原点过对称的点的坐标是（2，﹣5）．故答案为：（2，﹣5）．2．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．3．已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的侧面积是300πcm2．（结果保留π）【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的侧面积即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径长是20cm，∴其底面周长为20πcm，∵圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的侧面积为：lr＝×20π×30＝300π，故答案为：300π．4．有一台电脑中了病毒，经过两轮传染后共有400台电脑中了病毒，那么每轮传染中平均每台传染给19 台电脑．【分析】设每轮传染中平均每台传染给x台电脑，根据一台电脑中了病毒且经过两轮传染后共有400台电脑中了病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均每台传染给x台电脑，依题意，得：1+x+x（1+x）＝400，解得：x1＝19，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．故答案为：19．5．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是 1 ．【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE＝OF ＝OD＝R，根据S△ACB＝S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝5，∴a2+b2＝c2，∴∠ACB＝90°，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE＝OF＝OD＝R，∵S△ACB＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，∴×AC×BC＝×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD，∴3×4＝4R+5R+3R，解得：R＝1．故答案为：1．6．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆O n的半径分别是r1，r2，…，r n，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝32017．【分析】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，根据切线的性质得O1A＝r1，O2B＝r2，O3C＝r3，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OO1＝2O1A＝2r1＝2，在Rt△OO2B 中，OO2＝2O2B，即2+1+r2＝2r2，解得r2＝3，同理得到r3＝9＝32，按此规律同理可得r n ＝3n﹣1，然后n取2017即可得到答案．【解答】解：分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，∵半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线L相切，∴O1A＝r1，O2B＝r2，O3C＝r3，∵∠AOO1＝30°，∴OO1＝2O1A＝2r1＝2，在Rt△OO2B中，OO2＝2O2B，即2+1+r2＝2r2，∴r2＝3，在Rt△OO2C中，OO3＝2O2C，即2+1+2×3++r3＝2r3，∴r3＝9＝32，同理可得r4＝27＝33，所以r2018＝32017．故答案为：32017．二．选择题（共8小题）7．下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，故本选项错误；B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确．故选：D．8．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．140°【分析】根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系定理即可解决．【解答】解：∵∠ABC是圆周角，所对的弧是，∠AOC是圆心角，所对的弧是，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°．故选：D．9．关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤且a≠0 B．a≤C．a≥且a≠0 D．a≥【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△＝1﹣4×a×1≥0，然后求出a的取值范围，据此选择正确选项．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，∴△≥0且a≠0，∴（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0，∴a≤且a≠0，故选：A．10．下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．11．将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3 【分析】根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式．【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3．故选：C．12．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】根据旋转的性质得∠BOB′＝55°，然后利用∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB进行计算即可．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，∴∠BOB′＝55°，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝55°﹣15°＝40°．故选：D．14．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，与x轴交点为（3，0），（﹣1，0），则下列说法正确的有（）①a＞0 ②2a+b＝0③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x＝1可判断②；由x＝1时y＞0可判断③；由﹣1＜x＜3时，函数图象位于x轴上方可判断④．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；由图象知当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故③正确；由图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象位于x轴上方，即y＞0，故④正确；故选：C．三．解答题（共9小题）15．解方程：6x2﹣x﹣2＝0．【分析】先找a，b，c，再用公式法法求解即可．【解答】解：a＝6，b＝﹣1，c＝﹣2，△＝b2﹣4ac＝1+4×6×2＝49＞0，∴x＝＝，x1＝，x2＝﹣．16．甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是．（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，则所选的2名教师性别相同的概率是＝；故答案为：；（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：所以P（两名教师来自同一所学校）＝＝．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．【分析】将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出a，b，c的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得．【解答】解：把点A（1，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣2）的坐标分别代入y＝ax2+bx+c得：解得：∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣2∴抛物线y＝2x2﹣2顶点坐标为（0，﹣2）18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；并写出点A1，B1，C1的坐标．（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用旋转的性质得出旋转后点的坐标进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣4）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（1，﹣1），B2（2，﹣4），C2（4，﹣3）．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，AP＝2，求⊙O的半径．【分析】连接OC，先由垂径定理求得CP＝4，然后再在Rt△OCP中，利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CP＝PD＝4．∵OC＝OB＝r．AP＝2，∴OP＝r﹣2．在Rt△OPC中，由勾股定理得：OC2＝PC2+OP2，即r2＝42+（r﹣2）2．解得：r＝5．所以圆的半径为5．20．某校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？【分析】本题可设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．【解答】解：设道路的宽为xm，依题意有（32﹣x）（20﹣x）＝540，整理，得x2﹣52x+100＝0．∴（x﹣50）（x﹣2）＝0，∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）答：小道的宽应是2m．21．如图，▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）【分析】（1）连结OD，由于OA＝OD，∠BAD＝45°，所以∠AOD＝90°，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠ODC＝∠AOD＝90°，于是可根据切线的判定定理证明CD为⊙O 的切线；（2）根据梯形和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD进行计算即可．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵OA＝OD，∠DAB＝45°，∴∠AOD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线；（2）∵AB＝2，∴OB＝1，CD＝2，∴阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD＝﹣＝﹣π．22．某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获利润最大？【分析】（1）根据“总利润＝每件的利润×每天的销量”列方程求解可得；（2）利用（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160，即x2﹣10x+16＝0，解得：x1＝2，x2＝8，答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（2）依题意得：y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x＝5时，y取得最大值为2250元．答：y＝﹣10x2+100x+2000，当x＝5时，商场获取最大利润为2250元．23．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点：①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②在抛物线的对称轴上找出一点Q，使BQ+CQ的值最小，并求出点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点A的坐标，利用二次函数的对称性即可求出点B 的坐标；（2）由a的值及点A、B的坐标，即可求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质可求出点C的坐标．①设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），根据三角形的面积公式结合S△POC＝4S△BOC，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；②连接AC，交抛物线对称轴于点Q，利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性可得出此时BQ+CQ的值最小，由点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（﹣1×2﹣（﹣3），0），即（1，0）．（2）∵a＝1，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），∴抛物线的解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，又∵点C为抛物线与y轴的交点，∴点C的坐标为（0，﹣3）．①设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴|x|•OC＝4×OB•OC，即|x|＝4，∴x＝±4，∴点P的坐标为（﹣4，5）或（4，21）．②连接AC，交抛物线对称轴于点Q，此时BQ+CQ的值最小，如图所示．设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（﹣3，0）、B（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．当x＝﹣1时，y＝﹣1×（﹣1）﹣3＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣1，﹣2）．。