3.1 机器人的位姿描述
2、姿态（或称方向）的表示 我们知道：两个刚体的相对姿态可 以用附着与它们上的坐标系的相对姿态 来描述。
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3.1 机器人的位姿描述
刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标 系（用{B}表示）来表示；因此，刚体相对 于坐标系{A}的姿态等价于{B}相对于{A}的 姿态。 坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用 坐标系{B}的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中 的表示给出， 即[AxB AxB AxB] （这里前上标A 说明：{B}的三个基矢量在A坐标系中表示） ，它是一个3×3矩阵，它的每一列为 {B}的 基矢量在{A}中的分量表示。
意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之 间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关系； 右上角的3×1矩阵是两个坐标系之间的平 移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐 次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。
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3.2 齐次变换及运算
联合变换与单步齐次变换矩阵的关系： 任何一个齐次坐标变换矩阵均可分解 为一个平移变换矩阵与一个旋转变换矩阵 的乘积，即：
cos sin RZ ( ) 0
sin cos 0
0 0 1
2013年12月1日星期日
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3.2 齐次变换及运算
②、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：
ｚi
ｚj
α
ｙj ｏi ｏj ｘj
α
ｙi
ｘi
x y z x ,y ,z k k k
( x, y, z, k ) 是空间该点的齐次坐标。
则称
以后用到齐次坐标时，一律默认k=1 。
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3.2 齐次变换及运算
2、齐次坐标变换 为何使用齐次坐标？ 在进行联合变换时，变换关系为：
i
•
A B
A B
R R R
A B T B A
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1
3.1 机器人的位姿描述
3、位姿的统一表示 定义一组四向量矩阵[R P]，如图。其中， i i p jorg 表示{j}相对{i}的姿态， 表示{j}的原点 jR 相对{i}的位移。 我们可以将{j}坐标 ｚj 系相对{i}坐标系描述为： ｚi
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3.1 机器人的位姿描述 即：
A B
R A xB

A
yB
xB x A x y A zB B A xB z A

yB x A yB y A yB z A
T zB xA B X A BY T zB y A A T zB z A B Z A


12 0.866 0.5 0 5 11.830 rA p AB RAB rB 6 0.5 0.866 0 9 13.794 0 0 0 1 0 0
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3.2 齐次变换及运算
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换 矩阵分别为：
p AB 12 6 0
和
则：
cos30 sin 30 0 0.866 0.5 0 RAB z (30 ) sin 30 cos30 0 0.5 0.866 0 0 0 1 0 0 1
基矢量都是单位矢量，因此，上式又 可以写成：
A B
cos( xA x B ) cos( xA y B ) cos( x Az B ) , , , R cos( yA x B ) cos( y A, y ) cos( y Az B ) , , B cos( zA x B ) cos( zA yB ) cos( zA z B ) , , ,
px p A P y pz
其中px，py，pz为P点的 坐标分量。
ｘ
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
{A}
ｙ
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• 位置矢量不同于一般矢量，它的大小与坐 标原点的选择有关。
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• 绕任意轴的转动 设绕k轴转动θ 角，则旋转矩阵为：
其中：
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3.2 齐次变换及运算
• 若给定一旋转矩阵:
r11 R K ( ) r21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r22
• 则可计算出：
i i
py j yi j p pz j z i j p
i
ｚi ｚj
p
即：
p R p
i j j
ｏi ｘi ｏj ｘj
ｙj
ｙi
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3.2 齐次变换及运算
3、另一种解释 对同一个数学表达式可以给出多种不 同的解释，前面介绍的是同一个向量在不 同的坐标系的表示之间的关系。 上述数学关系也可以在同一个坐标系 中解释为向量的“向前”移动或旋转，或 则，坐标系“向后”的移动或旋转。
j
ｏi ｘi ｏj
θ
θ
ｙj
ｙi
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ｘj
3.2 齐次变换及运算
xi cos y sin i zi 0 令:
sin cos 0
0 x j y 0 j 1 z j
p ji R j p i p jorg
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3.2 齐次变换及运算 将其写成统一的矩阵形式则有：
x i cos y sin i zi 0 1 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 px x j py y j pz z j 1 1
第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.2 齐次变换及运算
3.3 机器人运动学方程
3.4 机器人微分运动
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机器人的任务
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第3章
机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的位姿 及运动与各个关节的 位姿及运动之间的关 系。 其中： 正问题：已知关节运 动，求手的运动。 逆问题：已知手的运 动，求关节运动。
nx n M ij y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 p x 1 p y 0 p z 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 p x nx p y n y p z nz 1 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 0 0 0 1
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3.1 机器人的位姿描述
R 称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。 旋转矩阵的性质： 1、列向量两两正交，行向量两两正交。 2、列向量和行向量都是单位向量。 3、每一列是{B}的基矢量在{A}中的分量表示，同 样，每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。 4、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。 5、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：
i' i
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3.2 齐次变换及运算
若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋 转变换，后平移变换，则上述关系是应 如何变化？
i
p R（ p p jorg）
i j j i
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3.2 齐次变换及运算 例：已知坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动 12个单位，并沿坐标系{A}的y轴移动6个单 位，绕坐标系{A}的z轴旋转30°，求平移 变换矩阵和旋转变换矩阵。 假设某点在坐标系{B}中的矢量 为 rB 5i 9 j 0k ，求该点在坐标系{A}中 的表示。
i
P j P i Pjorg
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3.2 齐次变换及运算 2、旋转 设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重 合，但它俩的姿态不同。设有一向量P， 它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i} 中如何表示？ 考虑分量：
i
p x i x j p j x i j p
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3.2 齐次变换及运算
4、常用的旋转变换 ①、绕z轴旋转θ 角 坐标系{i}和坐标系{j}的原点合， 坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i} 绕的z轴旋转一个θ 角。θ 角的正负一般 按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆 ｚi 时钟为正。 ｚ
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3.1 机器人的位姿描述
对于机器人来说，我们最关心它的末 端执行器相对于基座的位置和姿态，简称 为位姿。 问：我们如何用一组关节参数来描述 机器人的末端执行器相对于基座的位姿？
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3.1 机器人的位姿描述 一、机器人位姿的表示 1、位置的表示 坐标系建立后，任意点p在空间的位 置可以用一个3×1的位置矢量来描述； 例如，点p在{A}坐标系中表示为：
{j} { R p jorg } 3×4