第一章集合与函数概念
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1．相同函数的判定方法
(1)定义域相同；
(2)对应法则相同(两点必须同时具备)．
2．函数解析式的求法
(1)定义法；
(2)换元法；
(3)待定系数法．
3．函数的定义域的求法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变
量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．
4．函数值域的求法
(1)配方法(二次或四次)；
(2)判别式法；
(3)换元法；
(4)函数的单调性法．
5．判断函数单调性的步骤
(1)设x1、x2是所研究区间内任两个自变量的值，且x1<x2；
(2)判定f(x1)与f(x2)的大小：作差比较或作商比较．
6．奇偶性的判定法
首先考查定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系：①若函数f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若函数f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数；若f(x)＋f(－
x)＝0，则f(x)为奇函数；③若f(x)
f(－x)＝1(f(－x)≠0)，则f(x)为偶函数；
若f(x)
f(－x)＝－1(f(－x)≠0)，则f(x)为奇函数．
学科思想培优
一、集合的运算与方程、不等式
在高考中集合知识常与方程、不等式有关的问题结合在一起进行考查．
关于集合与方程问题的考查，一是不含参数的，直接求方程的解
集；二是含参数的，需要对方程分类讨论，求参数的取值范围．
不等式的解集常用集合表示，因此集合与不等式之间有着密切的联系，随着后续知识的学习，此类问题将经常出现，主要分为两类：一类是不含参数的，一般可以直接求解；二是含有参数的，常需要讨论，或进行等价转换，利用集合间的运算先化简集合，然后根据数形结合来解决．
[典例1] (1)若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x |(x －4)(x －
1)＝0}，则M ∩N ＝( )
A ．{1,4}
B ．{－1，－4}
C ．{0}
D ．∅ (2)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )
A ．[－4，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．[－4,1]
D ．(－2,1] (3)已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，实数a 的取值范围是________．
解析 (1)因为M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}＝{－4，－1}，N ＝{x |(x －
4)(x －1)＝0}＝{1,4}，所以M ∩N ＝∅，故选D.
(2)由已知得S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝{x |－2<x ≤1}＝(－2,1]．
(3)A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4,0}，因为B ⊆A ，所以可分B ＝A 和B A 两种情况讨论．
①当B ＝A 时，B ＝{－4,0}，即－4,0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－
1＝0的两根，则⎩⎨⎧ 2(a ＋1)＝4，a 2－1＝0，
解得a ＝1. ②当B
A 时，若
B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <
－1；
若B ≠∅，则B ＝{－4}或B ＝{0}，此时Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，检验知B ＝{0}，满足条件．
综上，可知实数a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．
答案 (1)D (2)D (3){a |a ＝1或a ≤－1}
二、函数的定义域
函数的定义域是指函数y ＝f (x )中自变量x 的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．
[典例2] (1)函数f (x )＝3x 2
1－x
＋(3x －1)0的定义域是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1 (2)已知函数y ＝f (x ＋1)定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，52 B ．[－1,4] C ．[－5,5]
D ．[－3,7] 解析 (1)由题意，得⎩⎨⎧ 1－x >0，3x －1≠0，
解得x <1且x ≠13.
(2)设u ＝x ＋1，由－2≤x ≤3，得－1≤x ＋1≤4，所以y ＝f (u )定
义域为[－1,4]．再由－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52，即函数y ＝f (2x －
1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52.
答案 (1)D (2)A
三、分段函数问题
所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．分段函数求值等问题是高考常考热点之一．
[典例3] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1. 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为_______．
解析 ①当1－a <1，即a >0时，此时a ＋1>1，
由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，
计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a >1，即a <0时，此时a ＋1<1，
由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，
符合题意，综上所述，a ＝－34.
答案 －34
四、函数的单调性与奇偶性
单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．
奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的图象的对称性可以缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．
[典例4] 已知f (x )＝x x －a
(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．
解(1)证明：任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝x1
x1＋2－x2
x2＋2
＝
2(x1－x2)
(x1＋2)(x2＋2)
.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝x1
x1－a －x2
x2－a
＝
a(x2－x1)
(x1－a)(x2－a)
.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围是(0,1]．
五、函数图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确地画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．[典例5]设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
解(1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，
∴f (x )是偶函数．
(2)当0≤x ≤3时，
f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2.
当－3≤x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2.
即f (x )＝⎩⎨⎧ (x －1)2－2(0≤x ≤3)，(x ＋1)2－2(－3≤x <0).
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
(3)函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]． f (x )在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，
在[－1,0)和[1,3]上为增函数．
(4)当0≤x ≤3时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；
当－3≤x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－
3)＝2.故函数f (x )的值域为[－2,2]．。