平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 A O 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a ⊥PO
a
α
求证：a ⊥AO
例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
P
a α
①
①
a⊥PO PO 平面PAO
③
A
o
②
③
线面垂直 性质
线线垂直
线面垂直 性质 判定定理
线线垂直
如果将定理“在 平面内”的条件去掉， 结论仍然成立吗？
例如：当 b⊥ 时， b⊥OA
但 b不垂直于OP
P
b
直线a 在一定要在平面 内，如果 a 不在平面内， 定理就不一定成立。
三垂线定理
P A o
a
α
江苏省海安县实验中学数学组
吕素楠
复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
P
A
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
o
a
是PO在平面α内的射
影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？
α
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF P 求证：∠BAO=∠CAO 分析： 要证 ∠BAO=∠CAO E B 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC O
证明： ∵ PO ⊥ F ∴OE、OF是PE、PF在内的射影 ∴ OE=OF ∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 得 同理可得OF⊥AC
O
C
同理，AC⊥BD
平面ABCD
AC是PC在ABCD上的射影 ∴ PC⊥BD
∴ PO⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PA⊥平面PBC
C A
∴ PM是AM在平面PBC上的射影
∵ PB=PC
M B
M是BC的中点
∴ PM ⊥BC 又 BC 平面PBC ∴ BC⊥AM
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
证明： ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
A1
D
A D1 B1 D A B B

∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 由三垂线定理知 A1 A1C⊥BC1
C1
同理可证， A1C⊥B1D1
C
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 P
解 题 回 顾
α
A1
A
O
a
α
P
A O
a
P
B1
C1 A M B C
C B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
解 题 回 顾
怎么找？
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P
α
A
O
a
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直
P A O
②线射垂直
P
③ 线斜垂直
P
α
a
α
A
O
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P A O
a
？
α
P A
线斜垂直
O
a
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
O
a
α
A
三垂线定理
说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
?
?
?
A
C 结 论 成 立
三垂线定理
小
结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线的射影垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照 系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
作业：《教学与测试》53
《创新作业》14
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后望去，发现到在暗处有一个人影，顿时我被吓了一跳。也许我被吓了一跳的动作过于夸张，也把那人吓了一下。“怎么不唱下去 啊？”那人从暗处走了出来。蓦地我发现，这是一个女生，穿着很平常，但是由于月光不给力，我看不清她长什么模样，也罢，看着 打扮，应该又是哪里的丫鬟。“不是不想唱下去，只是被你这么吓一吓，我忘词了。”我也没什么力气去解释，就随口说个理由。今 天我是走桃花运了，虽然碰到的尽是丫鬟。说罢，我继续躺下去看着月亮，发着呆想着事情。“你在看什么？”那女的已经来到我旁 边向我问道。我听罢，试着躺着转过头去答话，发现这样做脖子挺难受的，于是我说道，“我说今晚月亮好圆好大哦，要不你也躺下 来看看吧，这么舒服的时刻是很少能享受的。”在现代，哪还有如此给力的月亮啊，什么闹市霓虹灯的都把月亮的光芒掩盖完毕了。 过了一会，听见旁边有人躺下的声音，心中想到，这女的够豪迈的，不像别姑娘那般扭捏。8一个人拜堂|跟着傅翠大娘走着，不经来 到了刚才的大厅门前，只见宾客们都自觉地站在两旁，中间空出一大片位置。此时，仁玉头披红盖头，正跪在地上，前方右侧的大椅 子上坐着仁老夫人，而左侧坐着一个满头白发的老头，但看他的穿着却甚是平常，有着喜庆的气息但却不会显得过分夸张；他坐在大 椅子上，其气场不禁让人产生敬畏之感。只是岁月的痕迹在他的脸上毫不掩饰地表露了出来，想必这就是傅家的大老爷了。“糟了， 原来已经到了拜堂的吉时了。”翠大娘焦虑地说道。只是我瞧了这么久，始终只瞧见只有仁玉一个人跪在地上，压根儿没看见新郎。 这是怎么一回事呢？正当我苦苦思考这问题时，只听到翠大娘又说道，“看来四少爷还是没愿来。”这是怎么一回事呢，不愿意来拜 堂吗？翠大娘原就是一个爱说八卦的人，又瞧见我满脸疑惑的，便来了精神对我讲道，“傅莲啊，有些事情让你知道也是对你有好处 的。咱们家四少爷是在这城里出了名的美男子，不仅有才华，而且还很重情义，只是不知咋的，四少爷就是不愿成家娶老婆，少爷今 年已经二十了，要是别家的公子到这个年龄，都有儿女了。去年，家里给四少爷娶来当朝大臣沈武的闺女沈碧兰，四少爷也是像今天 那样没出现在厅堂里，也是落下沈一个人在这，当时老爷他们都快气疯了，幸好沈不计较，沈家那边也才没太为难傅家。如今，四少 爷又是不愿来，这丢傅家的脸都丢第二回了。”说罢，翠大娘略带伤感与无奈的叹息道。“不过，这回是纳妾，况且仁家不是什么大 户人家，傅家也不怕会招来什么麻烦，丢人的也这是这仁家孙女罢了。”翠大娘口直心快地又说了一堆让人听着不爽的话。听罢，我 大概知道这是怎么一回事了。只见玉儿还是跪
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P A O B C D A
P
D1
C1
A1
C
B1 D
C
(1)
(2)
M B
A (3)
B
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ PA⊥平面ABCD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又 BD
三垂线定理
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。
至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与
一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。