ADI隐式交替法三种解法及误差分析（一般的教材上只说第一种）理论部分参看孙志忠：偏微分方程数值解法注意：1.最好不要直接看程序，中间很多公式很烦人的（一定要小心），我写了两天，终于写对了。

2.中间：例如r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))形式写成分形式：r*u(i-1,m1,k)+r*u(i+1,m1,k)后面会出错，我也不是很清楚为什么，可能由于舍入误差，或者大数吃掉小数的影响。

3.下面有三个程序4.具体理论看书，先仔细看书（孙志忠：偏微分方程数值解法）或者网上搜一些理论。

Matlab程序：1.function [u u0 p e x y t]=ADI1(h1,h2,m1,m2,n)%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，截断)%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;for k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));endendendfor i=1:m2+1for j=1:m1+1u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));endendfor k=1:n+1for i=1:m2+1u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))]; u0(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;endendfor k=1:n+1for j=1:m1+1u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))]; u0([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t0(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t0(k))];endendr=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=2*(1+r);for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% for i=2:m2a=-r*ones(1,m1-1);c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;b=r2*ones(1,m1-1);d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+...h2*f(i,2,k);for l=2:m1-2d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...h2*f(i,l+1,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代过程%for l=m1-2:-1:1u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);endendfor j=2:m1a=-r*ones(1,m2-1);c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;b=r2*ones(1,m2-1);d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...h2*f(2,j,k);for l=2:m2-2d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+... h2*f(l+1,j,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%for l=m2-2:-1:1u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);endendendfor k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差endendend2.function [u p e x y t]=ADI2(h1,h2,m1,m2,n)%ADI解二维抛物线型偏微分方程(D'Yakonov交替方向隐格式)%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差%定义u0(i,j,k)=u'(i,j,k)(引入的过渡层),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0;t0=(0:n)*h2+1/2*h2;%定义t0是为了f(x,y,t)~=0的情况% for k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));%编程时-t0(k)写成了+t0(k),导致错误;endendend%初始条件for i=1:m2+1for j=1:m1+1u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));endend%边界条件for k=1:n+1for i=1:m2+1u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))];endendr=h2/(h1*h1);r4=1+r;r5=r/2;for k=1:nfor i=2:m2u0(i,[1 m1+1],k)=r4*u(i,[1 m1+1],k+1)-r5*(u(i-1,[1 m1+1],... k+1)+u(i+1,[1 m1+1],k+1));endendfor k=1:n+1for j=1:m1+1u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];endendr1=r-r*r;r2=2*(r-1)*(r-1);r3=r*r/2;for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% for i=2:m2a=-r*ones(1,m1-1);c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;b=2*r4*ones(1,m1-1);d(1)=r*u0(i,1,k)+r1*(u(i-1,2,k)+u(i,1,k)+u(i+1,2,k)+...u(i,3,k))+r2*u(i,2,k)+r3*(u(i-1,1,k)+...u(i+1,1,k)+u(i-1,3,k)+u(i+1,3,k))+2*h2*f(i,2,k);for l=2:m1-2d(l)=r1*(u(i-1,l+1,k)+u(i,l,k)+u(i+1,l+1,k)+...u(i,l+2,k))+r2*u(i,l+1,k)+r3*(u(i-1,l,k)+...u(i+1,l,k)+u(i-1,l+2,k)+u(i+1,l+2,k))+2*h2*f(i,l+1,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r1*(u(i-1,m1,k)+u(i,m1-1,k)+...u(i+1,m1,k)+u(i,m1+1,k))+r2*u(i,m1,k)+...r3*(u(i-1,m1-1,k)+...u(i+1,m1-1,k)+u(i-1,m1+1,k)+u(i+1,m1+1,k))+2*h2*f(i,m1,k);for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);end%回代过程%u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1);for l=m1-2:-1:1u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);endendfor j=2:m1a=-r*ones(1,m2-1);c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;b=2*r4*ones(1,m2-1);d(1)=r*u(1,j,k+1)+2*u0(2,j,k);for l=2:m2-2d(l)=2*u0(l+1,j,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m2-1)=2*u0(m2,j,k)+r*u(m2+1,j,k+1);for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%for l=m2-2:-1:1u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);endendendfor k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差endendend3.function [u u0 p e x y t]=ADI5(h1,h2,m1,m2,n)%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，未截断)%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;for k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));endendendfor i=1:m2+1for j=1:m1+1u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));endendfor k=1:n+1for i=1:m2+1u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))]; u1(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;endendr=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=r/4;r3=2*(1+r);for k=1:nfor i=2:m2u0(i,[1 m1+1],k)=u1(i,[1 m1+1],k)-r2*(u(i-1,[1 m1+1],k+1)-...2*u(i,[1 m1+1],k+1)+u(i+1,[1 m1+1],k+1)-u(i-1,[1 m1+1],k)+...2*u(i,[1 m1+1],k)-u(i+1,[1 m1+1],k));endendfor k=1:n+1for j=1:m1+1u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];endendfor k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%for i=2:m2a=-r*ones(1,m1-1);c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;b=r3*ones(1,m1-1);d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+... h2*f(i,2,k);for l=2:m1-2d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...h2*f(i,l+1,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代过程%for l=m1-2:-1:1u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);endendfor j=2:m1a=-r*ones(1,m2-1);c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;b=r3*ones(1,m2-1);d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...h2*f(2,j,k);for l=2:m2-2d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+... h2*f(l+1,j,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%for l=m2-2:-1:1u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);endendendfor k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解 e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差endendend[up e x y t]=ADI2(0.01,0.001,100,100,1000);surf(x,y,e(:,:,1001)) t=1的误差曲面下面是三种方法的误差比较：1.[u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2）代替）（t=1时的误差）2.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)3.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式) surf(x,y,e(:,:,11))(表示t=1时的误差）下面是相关数据：1: [u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2)代替）e(:,:,11) =Columns 1 through 60 0 0 0 0 00 0.00040947 0.00025182 0.00019077 0.00017112 0.000176040 0.00057359 0.00042971 0.00035402 0.00032565 0.000336280 0.00066236 0.00054689 0.00047408 0.00044596 0.000462670 0.00072152 0.00062001 0.00055081 0.00052442 0.000545530 0.00076164 0.0006576 0.00058522 0.00055732 0.000579840 0.00078336 0.00065993 0.00057557 0.00054161 0.000562090 0.00078161 0.00061872 0.00051646 0.00047429 0.000489640 0.00073621 0.0005148 0.00039979 0.00035439 0.000363130 0.00056964 0.00031688 0.00022051 0.0001884 0.000191920 0 0 0 0 02.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)e(:,:,11) =Columns 1 through 60 0 0 0 0 00 0.00027006 0.00016305 0.00012104 0.0001071 0.000109950 0.00037754 0.00027817 0.0002253 0.00020483 0.000211160 0.00043539 0.00035386 0.00030207 0.00028124 0.00029140 0.00047398 0.00040104 0.00035113 0.00033111 0.000344050 0.0005003 0.00042535 0.00037309 0.0003519 0.000365710 0.00051479 0.00042699 0.00036681 0.00034164 0.00035410 0.00051415 0.00040056 0.00032887 0.0002985 0.000307640 0.00048504 0.0003335 0.00025411 0.0002221 0.000227060 0.00037609 0.00020532 0.00013956 0.00011718 0.000119020 0 0 0 0 03.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式)e(:,:,11) =Columns 1 through 60 0 0 0 0 00 8.6469e-006 1.4412e-005 1.8364e-005 2.091e-005 2.2174e-0050 1.4412e-005 2.4777e-005 3.2047e-005 3.6716e-005 3.8961e-0050 1.8364e-005 3.2047e-005 4.1789e-005 4.8054e-005 5.1008e-0050 2.091e-005 3.6716e-005 4.8054e-005 5.5353e-005 5.8764e-0050 2.2174e-005 3.8961e-005 5.1008e-005 5.8764e-005 6.2389e-0050 2.2118e-005 3.8698e-005 5.0523e-005 5.8126e-005 6.171e-0050 2.055e-005 3.5581e-005 4.6157e-005 5.2942e-005 5.6197e-0050 1.707e-005 2.8951e-005 3.7128e-005 4.2365e-005 4.4952e-0050 1.0851e-005 1.7698e-005 2.2265e-005 2.5203e-005 2.672e-0050 0 0 0 0 01.[u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2)代替）Columns 7 through 110 0 0 0 00.00020348 0.00026228 0.00038338 0.00066008 00.00038607 0.00048321 0.00064717 0.00091668 00.00052635 0.00064203 0.00081637 0.0010517 00.0006174 0.00074272 0.00092111 0.0011417 00.00065651 0.00078964 0.00097724 0.0012051 00.00064051 0.00078116 0.00098594 0.0012433 00.00056474 0.00070822 0.00093332 0.0012478 00.00042547 0.00055526 0.00078616 0.0011844 00.00022735 0.00030946 0.00049004 0.00092402 00 0 0 0 02.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)Columns 7 through 110 0 0 0 00.00012826 0.00016798 0.00024986 0.00043637 00.00024444 0.00031023 0.00042173 0.00060513 00.00033401 0.00041257 0.00053179 0.00069358 00.00039216 0.00047742 0.00059986 0.00075263 00.00041704 0.00050761 0.00063642 0.00079439 00.00040657 0.0005021 0.00064226 0.00081984 00.00035784 0.000455 0.00060828 0.00082334 00.00026866 0.00035628 0.00051263 0.0007824 00.00014262 0.00019789 0.00031956 0.0006113 00 0 0 0 0 3.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式) Columns 7 through 110 0 0 0 02.2118e-005 2.055e-005 1.707e-005 1.0851e-005 03.8698e-005 3.5581e-005 2.8951e-005 1.7698e-005 05.0523e-005 4.6157e-005 3.7128e-005 2.2265e-005 05.8126e-005 5.2942e-005 4.2365e-005 2.5203e-005 06.171e-005 5.6197e-005 4.4952e-005 2.672e-005 06.1116e-005 5.5803e-005 4.4817e-005 2.6785e-005 05.5803e-005 5.1239e-005 4.1529e-005 2.5153e-005 04.4817e-005 4.1529e-005 3.42e-005 2.126e-005 02.6785e-005 2.5153e-005 2.126e-005 1.3869e-005 00 0 0 0 0。