储存液体的回转薄壳
圆筒形壳体 球形壳体
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
1、 受内压的圆筒形壳体 已知圆筒平均直径为 D，厚度为δ，试求圆筒上
任一点 A 处的经向应力和环向应力。
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径
分别为 R1=∞；R2=R
将R1、R2代入薄膜应力理论计算公式得经向应力 与环向应力：
a/b＜2 时，σθ＞0 a/b ＝2 时，σθ＝0 a/b ＞2 时，σθ＜0 σθ<0，表明σθ为压应力；a/b值越大，即封头成型越浅，x=a 处的压应力越大。
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
（4）当a/b=2时，为标准型式的椭圆形封头。
在x=0处，
m
pa
椭圆曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
推导思路：
椭圆曲线方程
式（8-1）（8-2）
R1和R2
, m
m
pR2
2
p
2
a4
x2 (a2
b2 )
1 2
b
（8-9）
（8-10）
p
2
a4
x2 (a2 b
b2 )
1 2
2
a4
a4 x2 (a2
b2
)
又称胡金伯格方程
② 壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和转矩作用。
③ 壳体的边界处的约束沿经线的切线方向，不得限制边界处 的转角与挠度。
对很多实际问题：无力矩理论求解 ╬ 有力矩理论修正
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
8.3 典型回转壳体的应力分析 分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力：
承受气体内压的回转薄壳
球形壳体 薄壁圆筒 锥形壳体 椭球形壳体
① 锥壳应力与r呈线性关系，锥顶处应力为零， 离 锥顶越远应力越大，且环向应力是经向应力的两倍
② 锥壳的半锥角α是确定壳体应力一个重要参量。 当α 0 °时，锥壳的应力 圆筒的壳体应力。 当α 90°时，锥体变成平板，应力 无限大。
故锥壳的半顶角不宜过大。
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
5、承受液体静压作用的圆筒壳体
sin d 2 d 2 dl2
2
2 2R2
m p R1 R2
——计算回转壳体在内压力p作用下环向应力的一般公式。
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
对第一曲率半径，即经线平面的曲率半径，若经线 之曲线方程 y = y(x) ，则R1可由下式求得：
➢球形壳体 ➢薄壁圆筒 ➢锥形壳体
R1
(1
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
微单元体上下面上作用有经向应力σm ；内表面有内压p的 作用，外表面不受力；两个侧面上作用环向应力σθ。
空间视图
上下面
所截得的微单元体的受力图
两个侧面
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
内压力p在abcd 面积上所产生外力合力在法线n上投影为Fn
Fn=pdl1dl2
y2 )3 2 y
R1=R2=R R1=∞；R2=R
R1=∞； R2 xtan
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
内力 10个
薄膜内力 4个
弯曲内力 6个
由中面的拉伸、压缩、剪 切变形而产生
N、Nθ、Nφθ=Nθφ
横向剪力 Qφ、Qθ
弯矩扭矩 Mφ、Mθ、 Mφθ、Mθφ
无力矩理论或 薄膜理论（静定）
母线 经线
中间面的直线。法线的延长
线必与回转轴相交。
法线 4
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纬线： 平行圆：
以过N点的法线为母线作圆锥面与壳体中间面正 交，得到的交线。
垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。
第一曲率 半径R1： 第二曲率 半径R2：
中间面上的一点M处经线的曲率半径。
R1 = MK1 ；K1必过M点的法线。
由z轴方向的平衡条件
FNz－Fz = 0
即
mD
sin
4
D2
p
0
由图8-4可以看出
R2
D
2 s in
（a）
D = 2R2sinθ
m
pR2
2
（8-1）
——计算回转壳体在任意纬线上经向应力的一般公式。
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（2）环向应力计算公式——微元平衡方程 微小单元体的取法，由三对曲面截取 ① 壳体的内外表面；② 两个相邻的，通过壳体轴线的经 线平面；③两个相邻的，与壳体正交的圆锥面。
由bc与ad截面上经向应力σm合力在法线n上投影为Fmn
Fmn
2 mdl2
sin
d1
2
ab与cd截面上环向应力σθ合力在法线n上投影Fθn
Fn
2 dl1 sin
d 2
2
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微体法线方向的力平衡
Fn－Fmn－Fθn = 0
令 sin d1 d1 dl1
2 2 2R1
经向应力或轴向应力 m 环向应力或周向应力
轴对称关系，同一纬线上各点 的轴向应力相等，周向应力也 相等。但不同纬线上各点轴向 应力和周向应力都不相等。 9
8 内压薄壁容器设计基础（续）
截面法
m
t
y
Di
p
p
x
m
(a)
(b)
薄壁圆筒在压力作用下的力平衡
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求解思路
1、取微元 力分析 法线方向： 内力=外力 微元平衡方程
p
t
D
R1 R2 R p' p gx
m p gx R
H
p gxR
p gxD
2
2R m R2 p Hg
m
p
gH 2
R
p
gH 4
D
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[ 例8-1 ]有一外径Φ219的氧气瓶，最小厚度为δ= 6.5mm，材质为40Mn2A，工作压力为15MPa ，试求氧 气瓶筒身壁内的应力是多少？
相等，即R1=R2=R
将曲率半径代入薄膜应力理论计算公式得经向应
力与环向应力：
m
pD
4
1、说明球壳的薄膜应力分布十分均匀。 2、在载荷和几何条件相同的情况下，球壳的最大应力只是圆 柱壳的一半，故球壳的承压能力比圆柱壳好。
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
3、受内压的椭球壳体
（1）沿底部边缘支承的圆筒 圆筒壁上各点所受的液体压力（静压），随液体深
度而变，离液面越远，液体静压越大。 p0——液体表面上的气压， 筒壁上任一点的压力为
p p0 gx
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
根据式（8-2），
m p0 gx
R
得环向应力为
( p0
gx)R
( p0
gx)D 2
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a/b=2
8 内压薄壁容器设计基础（续）
a/b= 2
a/b=3
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
8.4 内压圆筒边缘应力的概念 1、边缘应力的概念 薄膜理论分析内压圆筒的变形与应力，忽略的变形与应力 （1）圆筒受内压直径增大时，筒壁金属的环向“纤维” 被拉长，曲率半径由原来的R变成 R+△R。有曲率变化就 有弯曲应力，故内压圆筒壁的横向截面上，除作用有环向 拉应力σθ 外，还有弯曲应力σθb ，但因其应力数值相对很 小，可忽略不计。
gxR
gxD 2
当 xH时
max
gHR
gHD 2
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
作用于圆筒任何横截面上的轴向力均为液体总重量引起， 作用于底部液体重量经筒体传给悬挂支座，其大小
为 R2Hg ，列轴向平衡方程，可得经向应力σm
2R m R2Hg
（8-18）
m
gHR 2
gHD 4
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
在x=a处，
m
pa
2
pa
标准型式的椭圆形封头的应力分布如图。
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4、受内压的锥形壳体
R1=
r
R2 cos
式（8-1）（8-2）
pR2
px tan
pr
c os
m
px tan 2
pr
2 cos
锥形壳体的应力
2 m
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
有力矩理论或 弯曲理论(静不定)
由中面的曲率、扭率改变 而产生
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。
因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随
厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。
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8 内压薄壁容器设计基础（续）
2、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
① 壳体的厚度、中面曲率和载荷连续，没有突变，且构成壳 体的材料的物理性能相同。
（8-15）
作垂直于回转轴任一横截面，由上部壳体轴向力平衡
2Rm
R2
p 0
m
p0 R
2
p0 D
4
（8-16）
若容器上方开口，或无气体压力时，即p0=0，则σm=0。
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