如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础 图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是 正整数）个图案中的基础图形个数为______（用含n的式子 表示）.
【解答】观察图形可知， 第1个图案共有基础图形3×1+1=4个； 第2个图案共有基础图形3×2+1=7个； 第3个图案共有基础图形3×3+1=10个； … 则第n个图案共有基础图形3×n+1=3n+1个. 【答案】3n+1
2021中考数学 探索规律问题专题课件
这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形， 或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情 境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征， 或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生 的归纳、概括、类比能力.
解决这类问题的一般方法是：“从特殊情形入手——探 索发现规律——猜想结论——验证.”
∴
A1M
2 3
.
同理：△A1MD2∽△A2D2D3，
∴
A1M A2D2Biblioteka A1D2 A2D3.2
设A2C2=x，则 3
2.
x2 x
解得x=3.
同 由 ∴ 【理 此答A9可规案C9求律】可3A238 8得73C. 3A即nC正92， n方A形234nnCA1924C.9C21407D，10的A5边C5长是88123，87. ， 27
观察下列关于自然数的等式：
32-4×12=5
①
52-4×22=9
②
72-4×32=13
③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92-4×( )2=( )；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其
正确性.
【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇 数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算 的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可.
【解答】（1）32-4×12=5
①
52-4×22=9
②
72-4×32=13
③
…
所以第四个等式：92-4×42=17.
（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1， 左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1， 右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1. 左边=右边. ∴（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1. 【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算 规律，利用规律解决问题.
【点评】此题考查了图形的规律性.解决这类问题首先要从 简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后 一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情 况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结 论.
已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1 为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右 作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…，若A1C1=2， 且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10的边长是________.
1.观察下列一组数： 1，2，3，4，5 ，，
3 5 7 9 11
根据这组数的排列规律，可推出第10个数是__1_20_1___.
2.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形
数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三
角形数，…，依此类推，那么第9个三角形数是___________，
2 016是第___4_5个三角形数.
63
3.将连续正整数按如下规律排列： 若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=__1_4_7___.
二、数式规律 这类问题一般是先给出一组数式，通过观察、分析，归
纳出这组数式的共性，写出一个具有一般性的表达式.解答这 类问题，要认真分析所给数式的共同点，根据共同点归纳出 具有这些共同点的一般式，再代入已知数式验证其正确性.
【分析】设AD10与A1C1的交点为M，构造相似三角形
△AD1M∽△D2A1M，从而求得
A1M
2，然后利用△A1MD2
3
∽△A2D2D3，从而求得A2C2的长，…，以此类推，求得
A9C9的长.
【解答】设AD10与A1C1的交点为M. ∵四边形都是正方形，
∴AD1∥A1D2，
∴△AD1M∽△D2A1M， ∴ A1M D2A1 2 . 又∵D1AM1D1=AA1DC11-AB1=2-1=1，
102016
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三、图形规律 这类题目通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到
一系列的图形），探求图形的变化规律，以图形为载体考查 图形所蕴含的数量关系.解决此类问题时应先观察图形的变化 趋势，是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用 从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化 规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出 特殊情况下的数值.
一、数列规律 这类问题通常是先给出一组数，通过观察、归纳这组
数的共性规律，写出一个一般性的结论.解决这类题目的关 键是找出题目中的规律，分清不变量和变化量，寻求变化 部分与序号间的关系.
【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数， 每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数 据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术 平方根即可.
6. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点 ，第2个图形中共有10个点，第3个图形共有19个点，…，按 此规律第5个图形中共有点的个数( )
A.31
B.46
C.51
D.66
四、点的坐标变化规律 这类问题一般与直角坐标系相联系，结合函数、图形的
变化，进而引起点的坐标变化.解答这类问题，一般要从题目 中或图形运动中寻找变化规律，用变化规律表示点的变化， 进而推导要求的点的坐标.
【解答】前（n-1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n-1）= n（n-1）， 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数的被 开方数是n（n-1）+n-2=n2-2， 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数是
n2 2.
【答案】 n2 2
【点评】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确 定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键.