1. 一质点作平面运动，已知加速度为t A a x ωωcos 2-=，t B a y ωωsin 2-=，其中A,B,ω均为正常数，且0,0,≠≠≠B A B A 。

初始条件为t=0时，0,000==y xv v，0,00==y A x 。

试求该质点的运动轨迹。

解 由加速度的定义分别积分上式，并代入初始条件，得⎰⎰-=-+=+=tx x x tA tdt A dx a v v 0210sin cos 0ωωωω (1) ⎰⎰=-+=+=tt y y y tB tdt B B dt a v v 0200cos sin ωωωωω (2)由速度的定义分别积分上式，并代入初始条件和式（1）、式（2），得⎰⎰=-=+=t tx tA tdt A A dt v x x 00cos sin ωωω （3）⎰⎰=+=+=t ty tB tdt B dt v y y 000sin cos 0ωωω （4）式（3）和式（4）为质点运动的运动学方程，消去参数t ω，即得质点的运动轨迹方程 这一结果表明，指点运动的轨迹为椭圆。

2. 已知一质点由静止出发，它的加速度在X 轴和Y 轴上的分量分别为t a x 10=和215t a y =（SI 制）。

试求5s 时质点的速度和位置。

解 取指点的出发点为坐标原点。

由题意知质点的加速度为（1）由初始条件t=0时，000==y x v v ，对式（1）进行积分，有（2） 即j t i t v 3255+= （3） 将s t 5=代入式（3）有又由速度的定义及初始条件0=t 时，000==y x 对式（2）进行分离变量并积分，有即jt i t r 453543+= （4）将s t 5=代入式（4）有3. 一质点沿半径为R 的圆周轨道运动，初速为0v，其加速度方向与速度方向之间的夹角α恒定，如图所示。

试求速度大小与时间的关系。

解 有题意有 而 所以 分离变量dtR v dv αtan 12= （1）对上式积分，并代入初始条件t=0时，0v v =，得αtan 110R t v v =- （2）整理式（2）得4. 有一条宽度均匀的小河，河宽为d ，已知靠岸边水流速度为0，水的流速按正比增大，河中心水流速度最快，流速为0v。

现有一人以不变的划船速度u 沿垂直于水流方向划一艘小船从河岸某点渡河。

试求小船的运动轨迹。

解 取河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标系，由题意可知，初始条件为 t=0时，000==y x ，uv v y x ==00,0 （1）由题意，水流速度可表示为 又当2dy =时，0v v =水。

故因此yd v v 02=水 （2）对小船有（3）结合式（1）、（2），对式（3）积分，并应用初始条件得（4）对式（4）消去t ，得20yud v x =（5）这就是小船渡河的运动轨迹方程，其为抛物线。

这里需要注意的是，式（5）只适用于小船划至河中心之前，对于后半程小船的轨迹很容易从对称性获得20)2(2v du y u y u dv x -+= （6） 5. 设有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处，飞机相对空气保持不变的速率v '，而空气相对于地面的速率为u ，A 与B 间的距离为l 。

在下列三种情况下，试求飞机来回飞行的时间。

（1） 空气是静止的（即u=0）； （2） 空气的速度向东； （3） 空气的速度向北。

解 取地面为绝对参照系，空气为相对参照系。

（1）空气是静止的，即u=0，则飞机往返飞行速度大小均匀为v '。

飞机往返所需时间为 BA AB t t t +=1（2）由速度变换定理，飞机由A 到B 向东飞行时的速度大小为 由B 到A 向西飞行时的速度大小为 因此，飞机往返飞行所需时间为（3）当空气的速度u 向北时，飞机相对于地面的飞行速度v 及飞机相对空气的速度v '与 u 间由相对运动关系有因此，飞机对地飞行速度的大小为 故飞机往返飞行所需时间6. 如图所示，质量为M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m 的小球水平向右飞行，以速度1v（对地）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为v 2（对地），若碰撞时间为∆t ，试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。

解：(1) 小球m 在与M 碰撞过程中给M 的竖直方向冲力在数值上应等于M 对小球的竖直冲力，而此冲力应等于小球在竖直方向的动量变化率即：由牛顿第三定律，小球以此力作用于M ，其方向向下。

对M ，由牛顿第二定律，在竖直方向上 N ―Mg ―f ＝0 N ＝Mg ＋f又由牛顿第三定律，M 给地面的平均作用力也为 方向竖直向下。

(2) 同理，M 受到小球的水平方向冲力大小应为tmv f ∆='1，方向与m 原运动方向一致。

根据牛顿第二定律，对M 有利用上式的f '，即可得M mv v /1=∆。

7. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自由转动，转动惯量为J 0，环的半径为R ，初始时环的角速度为ω0，质量为m 的小球静止在环内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大？（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r <<R ）解：选小球和环为系统，运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒，对地球、小球和环系统机械能守恒，取过环心的水平面为势能零点。

对B 点时：ωω)(2000mR J J +=①)(21212122220200B v R m J mgR J ++=+ωωω ② 式中v B 表示小球在B 点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度。

由式①得： )/(2000mR J J +=ωω代入式②得：当小球滑到C 点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至ω0，又由机械能守恒定律知，小球在C 的动能完全由重力势能转换而来，即：∴ v c ＝gR 48. 从一个半径为R 的均匀薄板上挖去一个直径为R 的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心R ／2处（如图），所剩薄板的质量为m 。

求此时薄板对通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。

解：由于转动惯量具有可加性，所以已挖洞的圆板的转动惯量J 加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量J 1，就等于整个完整圆板对中心的转动惯量J 2。

设板的密度为ρ，厚度为a ，则对于通过原中心而与板面垂直的轴又由于m a R R =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρππ222，则代入上面求J 的公式，最后可得9. 空气对自由落体的阻力决定于许多因素，一个有用的近似假设是，空气阻力f 的大小与落体的速度ν成正比而方向相反，即νk f -=，其中k 为大于零的常数，其数值与速度无关，而由其它因素确定。

就物体在空气中由静止开始的自由下落考虑，并将Y 轴的正方向取为竖直向下。

（1）试证，物体运动的收尾速度（即物体不再加速时的速度）k mg v r =；（2）试求出速度随时间变化的关系式，并作出v 对t 的曲线图；（3）试定性地画出这种运动的y 对t 以及a 对t 的曲线图。

证 （1）物体在下落过程中除受重力外，还受空气阻力。

因此，其y 方向的合力为kv mg -。

根据牛顿运动定律，有ma dt dvmkv mg ==- （1）物体下落的加速度m kvmg a -=（2） 当收尾时，即物体不再加速时：0=a ，由式（2）得k mg v r =（3） （2）将式（3）代入式（1）后分离变量，得故积分，有 得)1(t mk r ev v --= （4） t v - 的曲线图如图（a ）所示。

（3）由式（4）及dt dyv =可得而t y -及t a -的曲线图如图（b ）、（c ）所示。

10. 如图所示，若使邮件沿着地球的某一直径的隧道传递，试求邮件通过地心时的速率。

已知地球的半径约为m 6104.6⨯，密度约为33/105.5m kg ⨯。

解 设邮件在隧道P 点，如图所示，其在距离地心为r 处所受到的万有引力为 式中的负号表示f 与r 方向相反，m 为邮件的质量。

根据牛顿运动定律，得 即r r G dt r d 222)34(ωρπ-=-= （1） 其中：ρπωG 342=。

为了简化计算，设邮件刚进入隧道时开始记时，则方程（1）的解可表示为 t R r ωcos = （2）式中R 为地球半径。

式（2）对时间求导，即得邮件传递的速度 t R v ωωsin -= （3） 由式（3）可知，邮件通过地心时速率最大，即11. 设在地球表面附近，一质量为kg 5100.5⨯的火箭（含燃料），从尾部喷出气体的速率为s m /100.23⨯。

试求：（1）每秒需喷出多少气体，才能使火箭最初向上的加速度大小为2/9.4s m ；（2）若火箭的质量比为6，该火箭的最后速率。

解 （1）取火箭和燃料为研究系统。

设在某一时刻t ，系统质量为M ，在随后的dt 时间内有质量dm 的燃料变为气体，则dt dMdtdm -=。

在地球表面附近向上发射火箭时，系统受到向下的重力Mg 和喷出气体向上的推力dt dm u，按牛顿运动定律有MaMg dt dm u =- (1)整理得初始时刻火箭质量0MM =，要使火箭获得的最初加速度为0a ，则需要每秒喷出的气体为（2）为求火箭的最后速率可将式（1）改写为 即gdt M dMudv --= (2)根据初始条件，有 积分，得火箭的速率gt M M u v -=0ln(3)由火箭质量与时间的关系，有 可得火箭到达最后速率的时刻m t 满足解得dt dm M dt dM M t m 65)(6500=-=(4)把式（4）代入式（3）可得火箭的最后速率12. 如图（a ）所示，一质量为M ，长度为l 的均质绳子，以匀角速度ω绕固定端旋转。

设绳子不伸长，重力忽略不计。

试求离固定端距离为r 处绳中的张力。

解 以固定端为原点O ，选取距O 点r 至r r ∆+之间的一微小段绳子作为研究对象，如图（b ），其受力示情况如图（c ）所示。

设r r ∆+处受力为r T ()r ∆+，r 处受力为)(r T ，这一微小段绳子的运动方程为rdrl M dT 2ω-= (1)利用条件l r =时，0)(=l T ，有⎰⎰-=rlr T rdr l M dT 2)(0ω (2)积分可得)(2)(222r l l M r T -=ω (3)从结果可得，张力T 在绳中不同位置处，是不同的。

在绳的末端附近，张力最小；在绳的固定端附近，张力最大。

13. 有一条单位长度为λ的匀质细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上（其所占的体积可忽略不计）。

试求：现以一恒定的加速度a 竖直向上提绳，当提起y 高度时，作用在绳端上的力为多少？若以一恒定速度v 竖直向上提绳时，当提起y 高度时，作用在绳端上的力又为多少？解 取坐标OY ，如图所示，以已提起的高度为y 的细绳为研究对象，由牛顿运动定律，有dt yv d yg F )(λλ=- (1)即ya v yg F λλλ++=2 (2)当a 为恒量时，由dy dvva =及0=y 时0=v ，可得ay v 22= (3)将式（3）代入式（2）得 题1-20图=y a g )3(+λ当v 为恒量时，0=a ,代入式（2）得=)(2v yg +λ14. 一长为l 的细绳（质量不计）一端固定，另一端系一小球。