3.2.2 变上限的定积分
1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
说明当
f
(
x)C[a,b]
时，(
x)
x a
f
(t )dt
是f
(
x)
在[a,b] 上的一个原函数，从而可知连续函数必存在原函数，
故定理 1 也称为原函数存在定理。
3.变限求导公式
（1）[
x a
f
(t )dt]
f
(
x)
；
（2）[
b x
f
(t )dt]
f
( x)
；
（3）[ (x) f (t )dt] f [( x)]( x) ； a
故由零点定理可知，至少存在一点(a, b) ，
使得 F ()0, 即方程F ( x)0 在(a, b) 内至少有一个根。
∵ F ( x) f ( x) 1 2 ， f (x)
∴ F ( x) 在[a,b] 上严格单增，
∴方程 F ( x)0 在(a, b) 内只有一个根。
当 f ( x)0 时，可类似证得结论。
（4）[ b f (t )dt] f [( x)]( x) ； ψ( x)
（5）[ ( x) f (t)dt] f [( x)]( x) f [( x)]( x) 。 ( x)
例 1．求下列函数的导数dy 。 dx
（1） y
x
e
t
2
dt.
0
（2）
y
0
cos(
x
3t
1
)dt
.
（3） y 0 x sin(t 2 )dt.
（4） y
lnx 1
f
(t )dt
，求dy
。
x
dx
（5） y
x2
sinx
1t 2 dt
0
x
2
sin
3 2
tdt
例 2．求 lim
x0
0 x
t(t sint )dt
0
例 3．设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数，试证：对任意 x有
xT
T
( 1 ) x f (t)dt 0 f (t)dt,
a nT
T
( 2 ) a f (t)dtn 0 f (t)dt.
例 4．设 f ( x) 是[0, ) 上的单调减少的连续函数。
证明：当 x0 时，
x
(
x
2
3t
2
)
f
(t
)dt
0
。
0
例 5．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，且 f ( x)0 。证明方程
x a
f
(t )dt
x b
dt 0 f (t)
由积分中值定理知，在 x与xx 之间至少存在一点 ，
使
Φ( x)
x Δx
f (t)dt f ()x,
x
∵ f ( x)C[a,b] ，
∴当 x0 时，有 x ， f () f ( x) ，
∴ ( x) lim Φ( x) lim f () f ( x) ， x0 x x
即 ( x) f ( x) 。
故方程
x a
f
(t
)dt
x b
dt f (t
0 )
在(a,
b)
内有且只有一个根。