c
(x)
f (t)dt f (t)dt
(x)
(x)
c
(x)
f (t)dt
(x)
f (t)dt
c
c
d ln x arctan 4xdx dx x3
1 arctan 4ln x 3 x2arctan4x3 x
题型2：洛必答法则求极限（及分段函数的连续性和可导性）
1 e t 2 dt
lim
x0
cos x
定 理 2 如 果 f (x)C[a,b] ， 则 变 上 限 积 分
x
( x) a f (t)dt D[a,b]，且它的导数是
( x)
d dx
x
a
f
(t )dt
f
(x)
(a
x
b)
即( x)为f ( x)的一个原函数
微积分学第（一连基续本函数定的理原－函数－一－定存原在函y）数存在定理
证
( x
dx a
推导：设 ( x)
(x)
f (t)dt
( x)u
u
f (t)dt
d
d
du
a
f (u)( x)
a
f [( x)] ( x)
dx du dx
推广2：
d ( x) f (t )dt f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
dx ( x)
原理：
(x)
f (t)dt
即 I 1 2I , I 1 ，
2
2
f (x) x 1 .
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
题型1：积分上限函数求导
d
dx
x t 2dt
1
x2
d x t 2 sin tdt x2 sin x
dx 1
d x x2 sin tdt x2 sin x ?
dx 1
x)
xx
a
f
(t )dt
( x x) ( x)
x x
x
o
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
oa
f ( )x [x, x x],
x2
(0) 0
lim x0
ecos2 x ( sin x) 1
2x
2e
(
lim x
x et2dt )2
0
x e2t2 dt
0
()
lim x
2
x et2 dt
0
e x2
()
e2x2
lim x
2e x2 2x ex2
0
定理1（p119）（微积分基本定理）
若 f ( x) C[a,b], F( x) f ( x)
d x x2dx
dx 1
d x x2dt
dx 1
d x x2dx x2
dx 1
d
x x2dt d x2
x
dt 2x
x
dt
x21
dx 1
dx 1
1
d
x x2 sin tdt
d
x2
x
sin tdt
dx 1
dx 1
2x
x
sin tdt
x 2 sin
x
1
d
x
( x t ) f (t )dt
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
积分中值公式的几何解释：
(a b)
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sin xdx
0
y
o
cos
x
0
2.
x
1
例 设 f (x)是连续函数, 且 f ( x) x 2 f ( x)dx , 0 求 f (x) .
解
设
1
f ( x)dx I ,
于是 f ( x) x 2I ,
0
两边在[0, 1]上积分,
1
1
1
0 f ( x)dx 0 x dx 2I 0 dx ,
x2 0
3
. 2
例
7
| x - 2 |dx
0
原式=
2
| x 2 |dx
7
| x 2 |dx
2
(2 x)dx
7
( x 2)dx
0
2
0
2
例
求
1 1 dx.
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln
|
x
|
Hale Waihona Puke 1 2ln 1ln
2
ln 2.
例 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
F ( x)ba
微积分基本公式实质：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a
) 仍成立.
例
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
则
b
f ( x)dx
a
[F ( x)]ba F(b) F(a)
微积分学第二基本定理－－－Newton-Leibniz 公式
（不定积分和定积分的关系）
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f
(t )dt 也是
f
( x) 的一个原函数,
F(x) (x) c x [a,b]
dx 1
d
x
xf (t)dt
d
x
tf (t )dt
dx 1
dx 1
d
x
x
f (t)dt
d
x
tf (t )dt
dx 1
dx 1
x
x
1 f (t)dt xf ( x) xf ( x) 1 f (t)dt
推广1： 若 f ( x)连续,( x)可导
则 d
(x)
f (t)dt
f [( x)]( x)
二、变上限积分
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a, b]上的一点，考察定积分
x
a f (t)dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a, b]上定义了一个函数，
记
x
( x) a f (t)dt.
变上限积分（积分上限函数）
令 x a F(a) (a) c,
又Q (a)
a
f (t)dt 0
a
F(a) c,
x
Q F ( x) a f (t)dt c,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)