不定积分和微分一、公式)()(x f dx x f dx d =⎰和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数，即⎰+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F =1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知⎰+=c x F dx x f )())((ϕ，求)(x f方法：求导得)())((/x F x f =ϕ，令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(1/x F x f -=ϕ例1（1）⎰+=c xdx x f 2)(，求⎰-dx x xf )1(2解：对⎰+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=，2222)1(x x f -=-则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰32)22()1(2222（2）⎰+=c x dx x xf arcsin )(，求⎰)(x f dx解：对⎰+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=c x xd x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰232222)1(31)1(1211)( 2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)())((/x f x F =ϕ，求)(x F 方法：令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(//t f t F ϕ=，故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ例2（1）x x f 22/tan )(sin =，求)(x f解：令t x =2sin ，则t t -=1cos 2，ttx x x -==1cos sin tan 222即t t t f -=1)(/两边积分的⎰+---=-=c t t dt tt t f |1|ln 1)( （2）已知]1)([)(//-=-x f x x f ，求)(x f解：令t x =-，则上式为]1)([)(//---=t f t t f ，即]1)([)(//---=x f x x f由上面两式得12)(2/+=x xx f 两边积分得c x dx x xx f ++=+=⎰)1ln(12)(22（3）设)(u f 在+∞<<∞-u 可导，且0)0(=f ，又101(ln )1x f x x <≤⎧⎪'=>，求)(u f解：令t x =ln 得te x =，则⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=1101)(/tt t e ee tf 即⎪⎩⎪⎨⎧>≤=01)(2/t et t f t当0≤t 时，1)(/=t f ，两边积分得⎰+==1)(c t dt t f 当0>t 时，2/)(t e t f =，两边积分得⎰+==2222)(c e dt e t f t t 又因为设)(t f 在+∞<<∞-u 可导，所以)(t f 在+∞<<∞-u 连续而2222)2(lim )(lim c c e t f tt t +=+=++→→，1100)(lim )(lim c c t t f t t =+=--→→ 因为)(t f 在0=t 处连续，则0212==+c c ，即2,021-==c c故⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0220)(2t e t tt f t（4）设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x xy y ∆+∆+=∆（0→∆x ），1)0(=y ，求)1(/y解：由)(1x o x x y y ∆+∆+=∆ 知 xyy +=1/ 即x dx y dy +=1 两边积分得⎰⎰+=x dxy dy 1 得 c x y ++=)1ln(ln而1)0(=y 故 0=c ，即x y +=1 故1)1(/=y （5）设⎰-=ππ0sin )(dt ttx f ，求⎰π0)(dx x f解：dx xx x dx x xdx x xf x xf dx x f ⎰⎰⎰⎰---=-=ππππππππ00/00sin sin )(|)()(⎰==π2sin xdx二、已知)(x F 是)(x f 的原函数⎪⎩⎪⎨⎧+==⇔⎰c x F dx x f x f x F )()()()(/，求被积函数中含有))((x f ϕ的积分1、由)()(/x F x f =求出)(x f ，代入积分计算 2、把积分转化为⎰))(())((x d x f ϕϕ的形式，利用⎰+=c x F dx x f )()(求值例3（1）xxsin 是)(x f 的原函数，0≠a ，求⎰dx a ax f )(解：因为xxsin 是)(x f 的原函数，所以⎰+=c x x dx x f sin )(而c xa ax c t a t dt t f a dx a ax f t ax +=+==⎰⎰=322sin sin )(1)(（2）xe-是)(x f 的原函数，求⎰dx x f x )(ln 2解：因为x xe ex f ---==/)()(，所以xx f 1)(ln -=则⎰⎰+-=-=c x xdx dx x f x 2)(ln 22三、已知)(x f 的表达式，求被积函数中含有))((x f ϕ的积分 1、由)(x f 求))((x f ϕ，再把))((x f ϕ的表达式代入积分计算2、由)(x f 先求⎰dx x f )(，把含有))((x f ϕ的积分转化为⎰)())((x d x f ϕϕ的形式处理例4（1）x x x f sin )(sin 2=，求⎰-dx x f xx )(1 解：在⎰-dx x f xx )(1中，令t x 2sin =得⎰⎰⎰⋅=-=-dt t f t t d t f tt dx x f xx )(sin sin 2)(sin )(sin sin 1sin )(1222222ct t t tdt t t t td tdt t ++-=+-=-==⎰⎰⎰sin 2cos 2cos 2cos 2)(cos 2sin 2因为x t x t x t arcsin ,1cos ,sin =-==所以c x x x dx x f xx ++⋅--=-⎰2arcsin 12)(1（2）2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ求⎰dx x )(ϕ解：令t x =-12，则11ln )(-+=t t t f ，而x x f ln )]([=ϕ 则x x x ln 1)(1)(ln=-+ϕϕ 即11)(-+=x x x ϕc x x dx x x dx x +-+=-+=⎰⎰|1|ln 211)(ϕ （3）)()(/2x f ex =-，)(/x f 连续，求⎰dx x xf )(/解：因为)()(/2x f e x =-，所以22)(x xe x f --=，⎰+=-c e dx x f x 2)(c e e x dx x f x xf x f xd dx x xf x x +--=-==--⎰⎰⎰222/2)()()]([)( （4）xxe x f =)(，求⎰⋅xdx x fln )(/解：⎰⎰⎰-==⋅dx xx f x x f x f xd xdx x f )(ln )()]([ln ln )(/c e x xe dx e x xe x x x x +-=-=⎰ln ln（5）x x f cos )(ln =，求⎰dx x f x xf )()(/ 解：dx x f x f x x f xd dx x f x xf ⎰⎰⎰-==)(ln )(ln )]([ln )()(/ c x x x xdx x x +-=-=⎰sin cos cos cos（6）设dt ttx f x ⎰=21sin )(，求⎰10)(dx x xf解：因为dt tt x f x ⎰=21sin )(，所以x x x x x x f 222/sin 22sin )(=⋅= ⎰⎰⎰⎰-=-==10210/210210210sin )(21|2)()(21)(dx x x dx x f x x f x dx x f dx x xf 2121cos |cos 21sin 211021022-==-=⎰x dx x 四、利用凑微分法求积分注意：))](([)]([)]([)()]([///x g f d x g d x g f dx x g x g f =⋅=⋅ 例5（1）1)0(=f ，3)2(=f ，5)2(/=f ，求⎰10//)2(dx x xf解：⎰⎰⎰⎰-====20/20/20/20//210//)(41|4)()]([41)(41)2(dt t f t tf t f td dt t tf dx x xf tx 令 24)0()2(2)2(/=--=f f f （2）设)(x f 二阶可导，a b f =)(/， b a f =)(/，求⎰b adx x f x f )()(///解：2|2)]([)]([)()()(222//////b a x f x f d x f dx x f x f b a b a b a-===⎰⎰（3）设5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π，2)(=πf ，求)0(f解：⎰⎰⎰-==πππ////cos )()]([sin sin )(xdx x f x f xd xdx x f⎰⎰--=-=πππ0sin )()()0()]([cos xdx x f f f x f xd因为5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π，所以5)()0(=-πf f 而2)(=πf ，故7)0(=f五、已知)()(/x f x F =，且)()()(x g x F x f =⋅，求)(x f方法：两边积分⎰⎰=dx x g dx x F x F )()()(/，得⎰=dx x g x F )(2)(2，求)(x f 例6（1）)(x F 是)(x f 的原函数，且0≥x 时，有x x F x f 2sin )()(2=⋅，又1)0(=F ，0)(≥x F ，求)(x f解：因为)(x F 是)(x f 的原函数，所以)()(/x f x F =， 由于 x x F x f 2sin )()(2=⋅ 故x x F x F 2sin )()(2/=⋅， 两边积分得 12/84sin 24cos 21212sin )()(c x x xdx dx xdx dx x F x F +-=-==⎰⎰⎰⎰而 22/2)()]([)()()(c x F x F d x F dx x F x F +==⎰⎰ 故c xx x F +-=44sin )(2，又1)0(=F 得1=c 而0)(≥x F ，所以144sin )(+-=xx x F 44sin 44cos 1)(+--=x x x x f（2）)(x f 连续，且当1->x 时，2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰，求)(x f 解：令dt t f x g x ⎰=)()(，)()(/x f x g =，由于2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰则 2/)1(2]1)()[(x xe x g x g x+=+两边积分得 dx x xe dx x g x g x⎰⎰+=+2/)1(2]1)()[(即 ⎰⎰⎰⎰+-+=+=++dx x e dx x e dx x xe x g d x g xx x 22)1(21121)1(2]1)([]1)([ 故 c xe x g x++=+1]1)([2因为 dt t f x g x ⎰=)()( 令0=x 得0)0(=g ，代入上式0=c故11)(-+±=xe x g x ，23/)1(2)(x e x x f x +±= （3）已知)(x f 为非负连续函数，且0>x 时，30)()(x dt t x f x f x =-⎰，求)(x f提示：因为⎰⎰==-xx du u f x f dt t x f x f 0ut -x 0)()()()(令，令⎰=x du u f x g 0)()(处理六、变上限积分的导数运算 注意：(1)如],[,)()(b a x dt t f x F b x⎰∈=，则⎰-=xbdt t f x F )()(，则)()(/x f x F -=(2)如⎰ϕ=)()()(x adt t f x F ，则由复合函数的求导法则有)()]([)()()()(///x x f x u f dxdu u F dx d x F ϕϕϕ⋅=⋅=⋅= (3)如⎰ϕφ=)()()()(x x dt t f x F ，可得成⎰⎰ϕφ+=)()()()()(x cc x dt t f dt t f x F ，则)()]([)()]([)(///x x f x x f x F φφϕϕ⋅-⋅=例7（1）已知)(x f 满足⎰+=x dt t f t x xf 02)(1)(，求)(x f解：两边求导得)()()(2/x f x x xf x f =+ 即dx xx x f x f d )1()()]([-=两边积分得c x x x f +-=ln 2)(ln 2，所以xCe x f x 22)(=（2）求一个不恒等于零的连续函数)(x f ，使它满足⎰+=x dt ttt f x f 02cos 2sin )()(解：两边求导得xxx f x f x f cos 2sin )()()(2/+=即 0)cos 2sin )(2()(/=+-⋅xxx f x f因为)(x f 是不恒等于零的连续函数，故xxx f cos 24sin )(/+=两边积分得c x dx x x x f ++-=+=⎰)cos 2ln(21cos 2sin 21)( 在⎰+=x dt t t t f x f 02cos 2sin )()(中令0=x ，得0)0(=f 代入上式有3ln 21=c故3ln 21)cos 2ln(21)(++-=x x f注意：（1）上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(=f（2）定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导例8（1）已知)(x f 连续，⎰=-x x dt t x tf 02arctan 21)2(，1)1(=f 求⎰21)(dx x f解：令u t x =-2，则⎰⎰⎰⎰-=--=-x xxxxxxdu u uf du u f x du u f u x dt t x tf 2202)()(2)()2()2(即 222arctan 21)()(2x du u uf du u f xx xxx =-⎰⎰两边求导得：421)()(2xxx xf du u f x x+=-⎰因为 1)1(=f ，上式中令1=x 得21)1()(221=-⎰f du u f 所以43)(21=⎰dx x f （2）求可导数)(x f ，使它满足⎰+=10sin )()(x x x f dt tx f解：令u tx =，则du u f x dt tx f x⎰⎰=10)(1)( 因为⎰+=10sin )()(x x x f dt tx f ，所以x x x xf du u f x sin )()(20+=⎰两边求导得x x x x f cos sin 2)(/--=两边积分得c x x x xdx x xdx x f +-=--=⎰⎰sin cos cos sin 2)(（3）由方程1sin e 22y 0t =+⎰⎰dt tt dt x （0>x ）确定y 是x 的函数，求dxdy 解：对x 求导得0sin 22/2=+⋅x y e y ，故22sin 2y ex dx dy -=（4）)(x y y =是由012=-⎰+-dt e x xy t 确定的函数，求0//=x y解：对x 求导得0)1(1/)(2=+-+-y e x y 故12)(/-=+x y e y 在012=-⎰+-dt e x xy t 中令0=x 时，有012=⎰-dt e yt ，即1=y故1/0/-==e y x注意：此题确定y 的方法（5）设)(x f 为已知可导奇函数，)(x g 为)(x f 的反函数，则⎰--)()(x f x x dt x t xg dxd 解：令u x t =-，则du u g x dt x t xg x f x f x x⎰⎰--=-)(0)()()(所以⎰⎰---⋅-=-)(0/)()]([)()()(x f x f x xx f g x xf du u g dt x t xg dx d 令⎰-=)(0)()(x f du u g x h ，则)()]([)()(///x xf x f g x f x h =-⋅-=两边积分得⎰⎰-==dx x f x xf dx x xf x h )()()()(/故⎰⎰-+=--dx x f x f x x xf dt x t xg dx d x f x x)()()()(/2)( （6）设函数)(x f 可导，且0)0(=f ，⎰-=-x n n n dt t x f t x g 01)()(，求nx x x g 20)(lim→ 解：令u t x nn =-，则⎰⎰=-=-nx x nnn du u f n dt t x f tx g 01)(1)()(由于 )()(1/n n x f xx g -=故n f x f x f n x x f n nx x g x x g n n x n n x n x n x 2)0(0)0()(lim 21)(lim 212)(lim )(lim /0012/020=--===→→-→→ 七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数)(x f 的各分段在相应区间的原函数)(x F ，然后考虑函数)(x F 在分段点处的连续性。