§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释
（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）
在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：
()λ-νπ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾
经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()
λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y
利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：
〔欧拉公式：〕 （16.2.4）
根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：
〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）
表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．
可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,
x （16.2.6）
这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率
ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）
物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．
如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）
❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.
（16.2.2） （16.2.3）
（16.2.12） （16.2.13）
（二）物质波波函数的统计解释
物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．
在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．
对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：
在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．
在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的
几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）
虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）
这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，
包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．
（三）物质波波函数ψ的条件
（1）波函数的标准条件
在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．
（2）波函数的归一化条件
在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：
〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数
本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p
+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因
❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.
、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．
⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v
（16.2.14）
此式亦可推广于（16.2.8）式：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）
❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。