E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
E
p
2
2
U (r )
根据能量和动量算符
i
t


2
2
U ( r )
2
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
17
几率密度
w ( r , t ) ( r , t ) ( r , t )
*
几率密度随时间的变化率
w t
利用薛定谔方程

*
t

t
*

w t

i 2
*
( )
* *
令
J
i 2
( )
*
18
粒子数守恒定律
w t
J 0

w t
V
d J dS
S
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
1(x)和2(x)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，
双缝齐开时，靶上子弹的密度分布1(x) ＋2(x)
3
（2）声波的双缝衍射
双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x) ＋I2(x)，还包括两 者的干涉项。
4
（3）电子 的双缝衍射
设入射电子
流很微弱， 几乎是一个 一个地通过 双缝。图中
的”波没有意义。
30
厄密多项式
H n ( ) ( 1) e
n

2
d d
n n
e

2
递推关系
dH n ( ) d
2 nH
n 1
( )
H n 1 ( ) 2 H ( ) 2 nH
n 1
( ) 0
最简单的几个厄密多项式为
H0=1,
H1=2,
H2=42–2
p ( r , t ) Ne

i
( Et p r )
12
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r , t )
由于p可以连续变化
c ( p )
p
p
(r , t )
(r , t )

c ( p , t ) p ( r ) dp x dp y dp z
Et
)
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。 定态与定态波函数
20
定态薛定谔方程
2 2 U ( r ) E 2
哈密顿算符
2
ˆ 2 U (r ) H 2
本征方程
ˆ H E
当体系处于能量本征态时，粒子的能量有确定值E
x 1
w


1 0
0 ( x ) dx 0 ( x ) dx
33
0 (x)

1/ 2
exp(
1 2
x )
2 2
w


exp( ) d
2
1 0
16 %
exp( ) d
2
经典允许区
34
n=10时线性谐振子的位置几率分布




11
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c1 1 c 2 2 ... c n
n

c
n n
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
( r , t ) A exp[ i ( k r t )]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1s ( r , , ) 1s ( r ) e
r /a
9
解
根据归一化的定义，我们有
2
1s d r
3
1 s dxdydz 4 r ( e

i
Ent

1 a
sin
n 2a
( x a )e

i
E nt
25
束缚态：本征能 量小于势能，即 E<U0 基态：体系能量最 低的态
本征函数的奇偶性 取决于势能函数
26
2.7 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附
近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以2 0 2Fra bibliotekr / a
) e

r /a
dr
4
r e
2 0
2r /a
dr a
3
归一化的波函数为 1 s
~
1
a
e
3
r /a
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c1 1 c 2 2
2
几率密度为：
w( x, y, z, t) ( x, y, z, t)
2
归一化条件可表示为：


( x, y, z, t) d 1
2
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 e i
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
描写粒子的波称为几率波
6
（6）波函数的特性
波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。
在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后， 其他力学量也确定了。 在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后， 体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一 定的几率出现。 在经典物理学中，波函数
21
以En表示体系能量算符的第n个本征值， n是与En相应的波 函数，则体系的第n个定态波函数为
iE n t
n (r , t ) n (r )e
(r , t )

n
c n n ( r ) e

iE n t
22
2.6 一维无限深势阱
在一维空间运动的粒子，其势场满足
用级数解法，H只能为一个中断多项式，得到
2 n 1,
n 0 , 1 , 2 , ...
29
E n (n
1 2
) ,
n 0, 1, 2, ...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象
性的表现，因为“静止
的照片是在
不同时间下 拍的。
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的
双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢? 在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
19
i
考虑一种特解
t


2
2
U ( r )
2
(r , t ) (r ) f (t )
1 [
2
i df f dt


2
U ( r ) ]
2
常数＝
E
( r , t ) ( r ) exp( i
1 ( 2 )
3/2
式中
p (r )
e
i p r /
c (p , t )
1 ( 2 )
3/2

(r , t )e

i
p r
dxdydz
13
(r , t )
1 ( 2 )
3/2
i

c (p , t ) e
p r
dp x dp y dp z
31
n ( ) N n e


2
2
H n ( ),
一维谐振子的能量及相应的波函数
E n (n
1 2
) ,
n 0, 1, 2, ...
1 2
n (x)

1/ 2
2 n!
n
exp(
x ) H n ( x )
2 2
0 (x)

1/ 2
exp(
i ( k r t )
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。 （3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实 验证明它们两者却无关。
2
2、波函数统计诠释
35
习题 P52~53
1、3、4、5、7、8
36
1 2
x )
2 2
1(x)
m / )
2

x exp( 1/ 2
1 2
x )
2 2
(
32
谐振子波函数的奇偶性
n ( x ) ( 1) n ( x )
n
下面着重讨论一下基态 经典力学，对于能量E0= ħω/2的谐振子，粒子将限制在 范围内运动 对于量子力学，粒子将有一定的几率处于经典允许区之外，对于 基态，该几率为