高中数学-分段函数及题型
【经典例题赏析】
例1．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <
≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时,
5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.
例2．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图
象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿
y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线
（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 答案A.
222(10)
.()2(02)x
x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10)
.()2(02)x
x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12)
.()1(24)x
x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 2
26(12)
.()3(24)x
x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 例3．判断函数2
2(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
【解析】 当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==,
当0x <,
0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于
任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.
例4．判断函数3
2
(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
y
x
x
【解析】
显然()f x 连续. 当0x ≥时, '
2
()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时,
'()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()
f x 在R 上是单调递增函数.
例5．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≥⎩
, 画图易知单调减区间为
12(,]-∞-. 例6．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）答案D.
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
例7．
设函数2(1)(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨
-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】 当
1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时,
()141310f x x ≥⇔-≥⇔
≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤,
故选A 项.
x
y
针对性课堂训练
1．函数x x
x y +=
的图象是
（ ）
3 函数
lg y x =( )
A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增
B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增
D 是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 2、画出函数
|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<≤+<<-+-≤≤---=)31(23)
123(4)234(23x x x x x x y
4．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,
025,,100,
2530,.
t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨
-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？。