线性代数机算与应用作业题
主要练习线性代数课本上所讲函数的用法以及用这些函数解简单的实际问题 一、机算题
1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。
（1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()T
AB ，T
T
B A 和()
100
AB
（3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1
A -和1
B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。
2．求解下列方程组
（1）求非齐次线性方程组12341234
12341234224514171278776652921710x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-+-+=⎪⎨+++=⎪⎪--+-=⎩的唯一解。
（2）求非齐次线性方程组1234512345
12345123455972844228252398881266977
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩的通解。
3．已知向量组134083α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，211022α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=160323α，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=212394α，50822110α⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，求出它的最大
无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。
4．求向量空间3R 中向量325α⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
在基1231230,1,2001βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标
5．求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。
（1）1232563625A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
；
（2）203
131061622B -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
6．用正交变换法将下列二次型化为标准形。
()222123123112213323,,23f x x x x x x k x x k x x k x x =+++++
其中“123k k k ”为自己学号的后三位。
二、应用题
1．在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。
假设下图中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示，而4,321,,T T T T 表示钢板内部四个节点的温度。
若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如()1233040/4T T T =+++。
请计算该钢板的温度分布。
2030404020C C
C C
C C
2
请过这六个点作一个五次多项式函数23455012345()p x a a x a x a x a x a x =+++++，并求当
6x =时的函数值()56p 。
3. 李博士培养了一罐细菌，在这个罐子里存放着A 、B 、C 三类不同种类的细菌，最开始A 、B 、C 三种细菌分别有8
10、2×8
10、3×8
10个。
但这些细菌每天都要发生类型转化，转化情况如下：A 类细菌一天后有5％的变为B 类细菌、15％的变为C 细菌；B 类细菌一天后有30％的变为A 类细菌、10％的变为C 类细菌；C 类细菌一天后有30％的变为A 类细菌、20％的变为B 类细菌。
请利用MATLAB 软件分析：
（1）一周后李博士的A 、B 、C 类细菌各有多少个？
（2）两周后和三周后李博士的A 、B 、C 类细菌各有多少个？
（3）分析在若干周后，李博士的各种细菌的个数几乎不发生变化的原因。
4. 一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表所示。
表11.3混凝土的配方
（2）现在有甲、乙两个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为：24，52，73，133，12和36，75，100，185，20。
那么，能否用这三种型号混凝土配出满足甲和乙要求的混凝土？如果需要这两种混凝土各500吨，问三种混凝土各需要多少？ .
5. 假如一个数据库包含以下10种图书：B1：高等代数，B2:线性代数，B3：工程线性代数，B4：初等线性代数，B5：线性代数及其应用，B6：MATLAB 在数值线性代数中应用，B7：矩阵代数及其应用，B8：矩阵理论，B9：线性代数及MATLAB 入门，B10：基于MATLAB 的线性代数及其应用。
而检索的6个关键词按拼音字母次序排列为：“代数，工程，矩阵，MATLAB ，数值，应用”。
读者1的检索策略为：“代数，MATLAB ”；读者2的检索策略是：“代数，应用”。
请用矩阵运算来为这两位读者检索图书。
6． 某城市有如图所示的9节点交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段该路段的车流量。
若针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。
请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量()1,2,,12i x i = 。
若已知AB 段和FO 段在修路，即：80x =，120x =，又已知10300x =，11660x =。
求此时各个路段的交流流量。
单行道9节点交通流图
7．如图所示，求向量[]1,2,3u =、[]3,1,0v =、[]0,5,1w =所构成的四面体体积。
x
三个3维向量所构成的四面体
要求：（1）建立m 文件完成作业，文件名为自己姓名全拼小写与学号，如李阳123（liyang123.m ）；
（2）7月7号晚9:30之前由课代表打包发至466298072@ 。