x j
71.8 64.5 70.9 215.3 5 259.53 23.92 9
xj
23.93 21.5 26.33 (Σ X) (Σ x ) (x ) (N)
2
xi
ni Si
注：表中i表示方法组别，k表示其组数，j表示药物组别。
分析步骤：
1.建立假设、确定检验水准 (1)处理组间: H0：3种方法抑菌环直径的总体均数相等
完全随机设计的方差分析表 v 39 3 36 15.030 1.157 12.99 MS F
P <0.01
3.确定概率P值、做出推断结论： 根据组间、组内的自由度，查P195 F界值表， F0.01(3，36) ＝4.38，得P<0.01，按=0.05的检验水准，拒绝H0，接受 H1 ，差异有统计学意义，可认为4组小鼠瘤重的总体均数不 等或不全相等 。
析因设计、拉丁方设计、嵌套设计、裂区设计、交叉设计 资料的多因素方差分析；
重复测量资料的方差分析等。

2.应用条件
⑴各样本是相互独立的随机样本。 ⑵各样本均服从正态分布； ⑶相互比较的各样本的总体方差相等，即具有方差齐性。
五、多个样本方差的齐性检验

可用Bartlett 检验或Levene检验，前者要
第九章 方差分析
第一节 方差分析概述
实验设计的三个基本要素：处理因素、实验对象、实验效应。
一、因素与水平
在试验中，要考察的指标称为试验指标。

因素：影响试验指标的条件称为因素。
水平：因素所处于的状态称为水平。 单因素试验和多因素试验：试验中只有一个因素称为单因 素试验，如果多于一个因素称为多因素试验。
方差分析与t检验的关系
当两个样本均数作比较时，从同一资料算得的 F
值与t值有如下关系： F = t2

可见当两组均数比较时，方差分析与t检验的结果 是等价的。
第三节 随机区组设计资料的方差分析
随机区组设计（randomized block design）：亦
称配伍组设计,是配对设计的扩展。具体做法是： 先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、 年龄、职业、病情、病程等）将受试对象配成区 组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分 配到各处理或对照组。
n-1
N
SS组间 ni ( xi x ) 2
组间变异
ni
i 1
k-1
SS组间/组间
MS组间/MS组内

k
( xij )
j 1
2
组内(误差) 变异
i 1
ni N SS总-SS组间

( xij ) 2
i 1 j 1
k
ni
n-k
SS组内/组内
表 9-1
观测值 序号 1组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、对多样本均数重复进行t检验的风险性

将会导致犯I类错误的机率增大 例：若4个样本均数做两两比较，两两组合数为 C42 6 ， 若用t检验需作6次比较，若每次比较的检验水准为0.05， 则：

每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为(1-0.05)=0.95, 6次均不犯Ⅰ类错误的概率为0.956 =0.7351， 表2变异来源 自由度
方差分析表
SS MS F P
总变异 处理间
14 2
0.5328 0.2280 0.1140 11.88 <0.05
区组间
误差
4
8
0.2284
0.0764
0.0571
0.0096
5.95
<0.05
查界值表，得
F0.05(2,8)=4.46，
今F ＝11.88＞F0.05(2,8)，故P ＜0.05。
先将 15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成 5
个区组，每个区组内 3 只小白鼠随机接受三
种抗癌药物 , 以肉瘤的重量为指标，试验结
果见表。问三种不同的药物的抑瘤效果有无 差别？
表1 不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（g）
区组 1 2 3 4 5
n
A药 0.82 0.73 0.43 0.41 0.68 3.07 0.614 2.0207
k-1
SS组间/组间
MS组间/MS组内

k
( xij )
j 1
2
组内(误差) 变异
i 1
ni N SS总-SS组间

( xij ) 2
i 1 j 1
k
ni
n-k
SS组内/组内
四、方差分析的类型和应用条件
1. 类型

完全随机设计资料的单因素方差分析(one-way ANOVA)； 随机区组设计资料的两因素方差分析(two-way ANOVA)；
先计算离差:
Z ij X ij X i
k
然后计算Ｆ值：
F
( N k ) ni ( zi z ) 2 (k 1) ( zij zi )
i 1 j 1 i 1 k ni 2
N ni
1 k 1
2 N k
第二节 完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计资料的方差分析
2
合计
3.6 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 7.0 4.1 5.0 4.5 46.6 226.32 10 4.66 1.01
xij
ni
xi
si
注：观测值xij的下标i代表组，下标j代表各组观测值的序号；其它符号意义同前
表9-2 变异来源 总 组间 组内 SS 86.740 45.091 41.649
B药 0.65 0.54 0.34 0.21 0.43 2.17 0.434 1.0587
C药 0.51 0.23 0.28 0.31 0.24 1.57 0.314 0.5451
X ij
i 1
g
1.98 1.50 1.05 0.93 1.35 6.81 0.454 3.6245
X ij
j 1
( Xij )
Xi
2 X ij j 1 n
(X )
( 2 Xij )
分析步骤：
1.建立假设、确定检验水准 (1)处理组间: H0：3种抗癌药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数相等 H1： 3种抗癌药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不等或 不全相等 (2)区组间: H0：5个区组的小白鼠肉瘤重量的总体均数相等 H1：5个区组的小白鼠肉瘤重量的总体均数不等或不全相等 =0.05
求资料服从正态分布，否则偏差较大；故近
年来采用更多的是Levene检验，该法不依赖
于总体分布的具体形式。
Bartlett方差齐性检验
H0：各总体方差齐同，H1：各总体方差不齐。

2
1 1 1 1 3( k 1) ni 1 N k
( ni 1) ln( s c / s i )
Σ xi
2 Σ xi
三菱莪术液抑癌实验的小鼠瘤重(g)
处理因素(k个水平) 2组 3.0 2.3 2.4 1.1 4.0 3.7 2.7 1.9 2.6 1.3 25 70.3 10 2.5 0.93 3组 0.4 1.7 2.3 4.5 3.6 1.3 3.2 3.0 2.1 2.5 24.6 73.14 10 2.46 1.18 4组 3.3 1.2 0.0 2.7 3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1 18.7 47.03 10 1.87 1.16 114.9 416.79 40 2.87 —— (Σ x) (Σ x ) (N) (x ) ——
完全随机设计：将全体观察对象按随机化方法分配 到各个处理组中，每个观察对象接受每种处理的 机会均等。
例9.2：假设检验的步骤:
1.建立假设、确定检验水准： H0：1=2=3 =4，即4组小鼠瘤重的总体均数相等 H1：1、2、3 、4不等或不全相等，即4组小鼠瘤重的
总体均数不等或不全相等
40个数据各不相同— —总变异
同组内数据各不相 同——组内变异
xi
注：观测值 xij的下标 i代表组，下标 j代表各组观测值的序号；其它符号意义同前
各组样本均数也各不相 同——组间变异
三、方差分析基本思想（以完全随机设计为例）

把总的离均差平方和(即总变异)分解为至少两个部分，其 自由度也分解为相应几个部分，其中至少有一部分表示 (处理)因素的效应，有一部分表示抽样误差的影响，然后 比较两者的均方，计算F值。 若F值远大于1，可认为各组均数间差别有统计学意义，处 理有效应，若F值接近甚至小于1，表示差别无统计学意义， 处理组间效应相同(差异仅仅由抽样原因所致)。
随机区组设计目的：
设计中将已知对结果有干扰的非处理因素（如性
别、体重、年龄、职业、病情、病程等）的作用加以
控制，使得实验对象的变异从误差中消去，缩小实验
误差。
分析方法：两因素方差分析
SS总= SS处理+SS区组+SS误差
例2
某研究者采用随机区组设计进行实验，
比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，
=0.05 2.选定检验方法和计算检验统计量： F= MS组间/MS组内
完全随机设计方差分析表
变异来源 SS
SS总 xij x
k ni 2
MS
F
P
总变异
k ni
i 1 j 1
2 xij i 1 j 1
k
( xij ) 2
i 1 j 1
k
ni
结论：按 0.05 水准，拒绝H0 ，认为三种不同药物 作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全相等， 即不同药物的抑瘤效果有差别。
【例 9-3】 在药物敏感实验中比较 3 种弥散法(纸片法、挖洞法、钢圈法)的效果，各 法均用 3 种药物，以包含金黄色葡萄球菌液的平板上的抑菌环直径为指标，数据如表 7-2 所 示，试作方差分析。 表 7-2 3 种弥散法的药物敏感实验结果