高考压轴题（5）——磁场一、安培力1．图是导轨式电磁炮实验装置示意图。
两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，其间安放金属滑块（即实验用弹丸）．滑块可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨保持良好接触。
电源提供的强大电流从一根导轨流入，经过滑块，再从另一导轨流回电源。
滑块被导轨中的电流形成的磁场推动而发射。
在发射过程中，该磁场在滑块所在位置始终可以简化为匀强磁场，方向垂直于纸面，其强度与电流的关系为B=kI，比例常量k=2.5×10﹣6T/A．已知两导轨内侧间距l=1.5cm，滑块的质量m=30g，滑块沿导轨滑行5m后获得的发射速度v=3.0km/s（此过程视为匀加速运动）．（1）求发射过程中电源提供的电流强度。
（2）若电源输出的能量有4%转换为滑块的动能，则发射过程中电源的输出功率和输出电压各是多大？（3）若此滑块射出后随即以速度v沿水平方向击中放在水平面上的砂箱，它嵌入砂箱的深度为s′．设砂箱质量为M，滑块质量为m，不计砂箱与水平面之间的摩擦。
求滑块对砂箱平均冲击力的表达式。
【解答】解：（1）由匀加速运动公式 a==9×105m/s2由安培力公式和牛顿第二定律，有F=IBl=kI2lF=ma因此I==8.5×105A即发射过程中电源提供的电流强度为8.5×105A。
（2）滑块获得的动能是电源输出能量的4%，即：P△t×4%=mv2发射过程中电源供电时间△t==×10﹣2s因而，所需的电源输出功率为P==1.0×109W由功率P=IU，解得输出电压：U==1.2×103V即发射过程中电源的输出功率为1.0×109W、输出电压为1.2×103V。
（3）分别对砂箱和滑块用动能定理，有fs M=MV2f's m=mV2﹣mv2由牛顿定律f=﹣f'和相对运动s m=s M+s'再由动量守恒定律mv=（m+M）V联立求得fs′=•mv2故平均冲击力f=•即滑块对砂箱平均冲击力为•。
2．为了降低潜艇噪音，提高其前进速度，可用电磁推进器替代螺旋桨．潜艇下方有左、右两组推进器，每组由6个相同的、用绝缘材料制成的直线通道推进器构成，其原理示意图如下．在直线通道内充满电阻率ρ=0.2Ω∙m的海水，通道中a×b×c=0.3m×0.4m×0.3m的空间内，存在由超导线圈产生的匀强磁场，其磁感应强度B=6.4T、方向垂直通道侧面向外．磁场区域上、下方各有a×b=0.3m×0.4m的金属板M、N，当其与推进器专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了从N到M，大小恒为I=1.0×103A的电流，设电流只存在于磁场区域．不计电源内阻及导线电阻，海水密度ρm=1.0×103kg/m3．（1）求一个直线通道推进器内磁场对通电海水的作用力大小，并判断其方向；（2）在不改变潜艇结构的前提下，简述潜艇如何转弯？如何“倒车”？（3）当潜艇以恒定速度v0=30m/s前进时，海水在出口处相对于推进器的速度v=34m/s，思考专用直流电源所提供的电功率如何分配，求出相应功率的大小．【解答】解：（1）安培力的大小，F=BIL=6.4×1000×0.3=1.92×103N，根据左手定则可知，方向：垂直于BI平面向右；（2）开启或关闭不同个数的左、右两侧的直线通道推进器，实施转弯．改变电流方向，或改变磁场方向，可以改变海水所受磁场力的方向，实施“倒车”．（3）电源提供的电功率中的第一部分为牵引功率P1=F牵v0根据牛顿第三定律：F安=12BIL，当v0=30m/s时，代入数据得：P1=F牵v0=12×1.92×103×30W=6.9×105W电源提供的电功率中的第二部分为单位时间内海水的焦耳热功率推进器内海水的电阻=0.5ΩP2=12I2R=6×106W电源提供的电功率中的第三部分为单位时间内海水动能的增加量单位时间内通过推进器的水的质量为m=ρm bcv水对艇=1.0×103×0.4×0.3×34=4080kg单位时间内其动能增加为==391680W．答：（1）一个直线通道推进器内磁场对通电海水的作用力大小为1.92×103N，其方向为垂直于BI平面向右；（2）开启或关闭不同个数的左、右两侧的直线通道推进器，实施转弯．改变电流方向，或改变磁场方向，可以改变海水所受磁场力的方向，实施“倒车”．（3）当潜艇以恒定速度v0=30m/s前进时，海水在出口处相对于推进器的速度v=34m/s，电源提供的电功率中的第一部分为牵引功率，其大小6.9×105W；电源提供的电功率中的第二部分为单位时间内海水的焦耳热功率，其大小为6×106W；电源提供的电功率中的第三部分为单位时间内海水动能的增加量，其功率的大小为391680W．二、带电粒子在匀强磁场中运动3．如图（a）所示，左为某同学设想的粒子速度选择装置，由水平转轴及两个薄盘N1、N2构成，两盘面平行且与转轴垂直，相距为L，盘上各开一狭缝，两狭缝夹角θ可调（如图（b））；右为水平放置的长为d 的感光板，板的正上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度为B．一小束速度不同、带正电的粒子沿水平方向射入N1，能通过N2的粒子经O点垂直进入磁场． O到感光板的距离为d/2，粒子电荷量为q，质量为m，不计重力．（1）若两狭缝平行且盘静止（如图（c）），某一粒子进入磁场后，竖直向下打在感光板中心点M上，求该粒子在磁场中运动的时间t；（2）若两狭缝夹角为θ0，盘匀速转动，转动方向如图（b）．要使穿过N1、N2的粒子均打到感光板P1P2连线上．试分析盘转动角速度ω的取值范围（设通过N1的所有粒子在盘转一圈的时间内都能到达N2）．【解答】解：（1）粒子运动半径为：R=…①由牛顿第二定律：Bqv=m…②匀速圆周运动周期：T=…③粒子在磁场中运动时间：t=…④（2）如图所示，设粒子运动临界半径分别为R1和R2…⑤由几何关系得：解得：…⑥设粒子临界速度分别为v1和v2，由②⑤⑥式，得…⑦…⑧若粒子通过两转盘，由题设可知…⑨联立⑦⑧⑨，得对应转盘的转速分别为粒子要打在感光板上，需满足条件答：（1）该粒子在磁场中运动的时间为；（2）盘转动角速度ω的取值范围为．4．在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B．一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP=d）射入磁场（不计重力影响）．（1）如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度．（2）如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）．求入射粒子的速度．【解答】解：（1）由于粒子在P点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP上，AP是直径．设入射粒子的速度为v1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：解得：（2）设O′是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O′Q，设O′Q=R′．由几何关系得：∠OQO′=φ OO′=R′+R﹣d由余弦定理得：解得：设入射粒子的速度为v，由解出：答：（1）如果粒子恰好从A点射出磁场，入射粒子的速度为．（2）如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）．入射粒子的速度为．5．如图，纸面内有E、F、G三点，∠GEF=30°，∠EFG=135°．空间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．先使带有电荷量为q（q＞0）的点电荷a在纸面内垂直于EF从F点射出，其轨迹经过G点；再使带有同样电荷量的点电荷b在纸面内与EF成一定角度从E点射出，其轨迹也经过G点．两点电荷从射出到经过G点所用的时间相同，且经过G点时的速度方向也相同．已知点电荷a的质量为m，轨道半径为R，不计重力．求：（1）点电荷a从射出到经过G点所用的时间；（2）点电荷b的速度大小．【解答】解；设点电荷a的速度为v，由牛顿第二定律得：解得：①设点电荷a作圆周运动的周期为T，则：②点电荷运动轨迹如图所示：设点电荷a从F点进入磁场后的偏转角为θ由几何关系得：θ=90° ③故a从开始运动到经过G点所用时间①②③联立得：④（2）设点电荷b的速度大小为v1，轨道半径为R1，b在磁场中偏转角为θ1，由题意得：⑤解得：⑥由于两轨道在G点相切，所以过G点的半径OG和O1G在同一条直线上，由几何关系得：θ1=60° ⑦R1=2R ⑧②③⑥⑦⑧联立得：答：（1）点电荷a从射出到经过G点所用的时间；（2）点电荷b的速度大小．6．如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L．在△OCA区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。
质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。
已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t0．不计重力。
（1）求磁场的磁感应强度的大小；（2）若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为t0，求粒子此次入射速度的大小。
【解答】解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t0内其速度方向改变了90°，故其周期T=4t0①设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r．由洛伦兹力公式和牛顿定律得②匀速圆周运动的速度满足③联立①②③式得B=④（2）设粒子从OA边两个不同位置射入磁场，能从OC边上的同一点P射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示。
设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2．由几何关系有θ1=180°﹣θ 2 ⑤粒子两次在磁场中运动的时间分别为t1与t2，则t1+t2==2t0；⑥（3）如下图，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为150°．设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC相切与B点，从D点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有∠O O'D=∠B O'A=30°⑦r0cos∠OO′D+=L⑧设粒子此次入射速度的大小为v0，由圆周运动线速度公式，则有：v0=⑨联立①⑦⑧⑨式得v0=答：（1）磁场的磁感应强度的大小；（2）该粒子这两次在磁场中运动的时间之和2t0；（3）粒子此次入射速度的大小。