二次函数典型例题——最大面积
1、如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC 的两条直角边分别落在x 轴、y 轴上，且
OB=1,OC=3,将△OBC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OAE ，将△OBC 沿y 轴翻折得到△ODC ，AE 与CD 交于点 F.
（1）若抛物线过点 A 、B、C, 求此抛物线的解析式;
（2）求△OAE 与△ODC 重叠的部分四边形ODFE 的面积;
（3）点M 是第三象限内抛物线上的一动点，点M 在何处时△AMC 的面积最大？最大面积
是多少？求出此时点M 的坐标.
解：(1)∵OB=1 ，OC=3
∴C（0，-3），B（1，0）
∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE
∴A（-3,0）
所以抛物线过点A（-3 ，0），C（0，-3），B（1，0）
设抛物线的解析式
为
y 2 ax bx c(a 0) ，可得
a+b+c 0a1
c -3解得b2
9a-3b c 0c-3
∴过点A,B,C 的抛物线的解析式为y x2 2x-3
（2）∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE ，△OBC 沿y 轴翻折得到△COD
∴ E（0，-1），D（-1,0）
1 可求出直线AE 的解析式为y 1x 1
3直线DC 的解析式为y 3x 3
∵点F为AE、DC 交点
∴F（-3，-3）
44
3
S
四边形
ODFE =S △AOE -S △ADF =
4
3）连接 OM ，设 M 点的坐标为 （m ，n ）
2
2、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx 2
（m 2）x 2 过点 （2, 4） ，且与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C.点 D 的坐标为 （2,0） ，连接 CA ，CB ，CD.
（1）求证： ACO BCD ；
（2） P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 DP 交 BC 于点 E.
①当 △BDE 是等腰三角形时，直接写出点 E 的坐标； ②连接 CP ，当△ CDP 的面积最大时，求点 E 的坐标.
∵点 M 在抛物线上，∴ n 2
m 2m
∴
S AMC S AMO S OMC
S AOC
= 12OA m
= 32(m 2
11
OC n OA OC 2
2
3m) 3(m 因为 0 m 3 ，所以当 m
所以当点 M
3
的坐标为 （ ， 2
3 9 3 (m n) (m n 3) 2 2 2
3 2 27
2) 8
3
时，
2
15
- ) 时， 4
n
15
，△AMA ' 的面积有最大值
4
△ AMA '的面积有最大值
解：(1｝丫抛物线y =皿口(皿42)沙2过点(2,4),
1
•・・抛物线解析式为：r= -y^a+-|^4-2.
•"(・1,0) ,5(6,0) ,€(0,2) • 作M丄CD,
交CD延长线于点M, 在RiZ\DOC 中，
0C = 0D =2 ・
・•・乙CD0=厶BDM=45SCD=2"・在RtABMD中，
•/ BD =4,
:・DM=BM=2/L
在R2CM3中，仙Z.BCM二粵二笔二占.
CM 4/2 2
直线CD的解析式为-x + 2.
•1 Q(X9-% +2)<
在RlA/lOC 中.tanZ^CO 0A
1
0G 一
2
.*< tan Z BCM = tan Z
ACO.
LBCD^ LACO.
(2)®£3(4,y),£2(6-|-/i0,|/i0)・
(2)^ F(X, -yx2 +yx +2),
过点P作为轴的垂线，垂足为点F,交CD延长线于点Q、
12
3、如图，一次函数y x 2 分别交y 轴、x 轴于A、B 两点，抛物线y x 2 bx c
2
过A、 B 两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x t ，在第一象限交直线AB于点M ，交这个抛物线于点N．求当t 取何值时，MN有最大值，最大值是多少？
mx n 交于点 D ．过点 D 作 DC ⊥x 轴，垂足为点 C ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在BD 上方），过 N 作NP ⊥x 轴，垂足为点 P ，交 BD 于点 M ，求 MN 的最大值 .
解：
( 1)易得 A (0， 2)，B (4， 0) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
将 x =0， y =2 代入 y x 2 bx c 得 c 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
将 x =4， y =0， c 2 代入 y x 2 bx c
得到 b 7,
2
2
7 y x x 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 2
1 2 7 2)由题意，易得 M (t, t 2),N(t, t 2
t 2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 22 从而得到 MN t 2
7
t 2 ( 1
t 2)
t 2 4t (0 t 4)⋯⋯
22
当 t 2 时， MN 有最大值 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
5分
延庆县） 二次函数 y
x 2
mx 的图象经过点 A （﹣ 1，4），B （ 1，0），
12x b
经过点 B ，且与二次函数 A （﹣ 1，4），B （1，
石景山） 已知关于 x 的方程 mx 2
3m 1 x 2m 2 0 ．
（ 1）求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根；
（ 2）若关于 x 的二次函数 y mx 2
3m 1 x 2m 2 的图象经过坐标原点，得到抛 物线
C 1 ．将抛物线 C 1向下平移后经过点 A 0, 2 进而得到新的抛物线 C 2,直线 l 经过 点 A 和点 B 2,0 ，求直线 l 和抛物线 C 2 的解析式；
3）在直线 l 下方的抛物线 C 2上有一点 C ，求点 C 到直线 l 的距离的最大值．
0 1 m n
∴ m=-2,n=3 ∴二次函数的表达式为 y
x 2
2x
1
2) y
x b 经过点 B 1 ∴b 2
画出图形 设M (m, 1m
12），则
N m,
2
1 1 2m 3 设MN m 2
2m 3 ( 21m 12)
3 m
2 34)2 49 ∴ MN 的最大值为
16
∴ MN ∴ MN
(m
2
49 16 m 0
时，
3m 2
1 4m 2m
2
9m
2
6m 1 2
8m 2
8m
2
m 2m 1
m 2 12
m 2
1 0，
3分
2
综上所述：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数
根；
2)∵ 二次函数 y mx 2
(3m
1)x 2m 2 的图象经过坐标原点
2m 20
m 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
抛物线
C 1 的解析式为： y
2 x 2x
抛物线 C 2 的解析式为：
y
2
x 2x 2
设直线 l 所在函数解析式
为：
y
kx b
将 A 和点 B 2,0 代入 y kx b
∴直线 l 所在函数解析式为： y
2⋯⋯⋯
3)据题意：过点 C 作 CE x 轴交 AB 于 E ，
DEC OAB 45 ,则 CD
2EC
2
2 ， E t, t 2 ， 0 t
3 t 2 3t 可证
设
C
t,t 2
2t 5分 ∴ EC
y E
y C
2
6分
∵0
3
2
3
时， 2 时，
EC max 9
max
4 ∵ CD 随 EC 增大而增
大，
∴当 t
∴ CD
max 89
2 为所求 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分。