一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.28．设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.试卷说明：表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，| |表示方阵的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．排列53142的逆序数τ（53142）=（）A．7 B．6C．5 D．42．下列等式中正确的是（）A．B．C．D．3．设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（）A．k|A| B．|k||A|C．|A| D．|A|4．设n阶方阵A满足，则必有（）A．不可逆B．可逆C．可逆D．5．设，，，则关系式（）的矩阵表示形式是A．B．C．D．6．若向量组（Ⅰ）：可由向量组（Ⅱ）：线性表示，则必有（）A．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）B．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）C．r≤s D．r>s7．设是非齐次线性方程组的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（）A．B．C．D．8．设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（）A．也是正交矩阵B．也是正交矩阵C．也是正交矩阵D．也是正交矩阵9．下列二次型中，秩为2的二次型是（）A．B．C．D．10．已知矩阵，则二次型（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．已知A，B为n阶矩阵，=2，=－3，则=_________________.12．已知，E是3阶单位矩阵，则＝_________________.13．若线性无关，而线性相关，则向量组的一个最大线性无关组为_________________. 14．若向量组线性无关，则t应满足条件_________________.15．设是方程组的基础解系，则向量组的秩为_________________.16．设，，则的内积（）＝________________.17．设齐次线性方程组＝的解空间的维数是2，则a＝______________.18．若实二次型正定，则t的取值范围是_________________.19．实二次型的正惯性指数p＝_________________.20．设A为n阶方阵，，若A有特征值λ，则必有特征值_________________.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）21．计算行列式 .22．设实数满足条件＝，求及 .23．求向量组，，，的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示.24．给定齐次线性方程组（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？ （2）当λ＝1时，求方程组的通解. 25．设矩阵 ，求26．设向量 和 都是方阵A 的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量 ，求 . 27．设矩阵 ，求正交矩阵P ，使 为对角矩阵.28．设二次型 经正交变换 化为标准形 ，求a ，b 的值. 四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 29．设A 为3阶实对称矩阵，且 .证明： . 30．已知矩阵 可逆，证明线性方程组 无解.线性代数试题 2006.1一、选择题 (每题2分，共10分)1、n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( ).(A) A 是实对称阵; (B) A 有n 个互异特征值; (C) A 有n 个线性无关的特征向量; (D) A 的特征向量两两正交.2、二次型2221231213231002f x x x x x x x x x =+++-+是 ( ). (A) 正定的; (B) 负定的; (C) 半正定的; (D) 不定的.3、n 阶方阵A 满足20A =，E 是n 阶单位阵，则 ( ).(A) 0E A -≠，但0E A +=; (B) 0E A -=，但0E A +≠; (C) 0E A -=，且0E A +=; (D) 0E A -≠，且0E A +≠.4、n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.(A) 有一个r 阶子式不等于零; (B) 所有的r 阶子式都不等于零; (C) 所有的1r +阶子式都不等于零;(D) 有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零.5、如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（ ）.(A) 00A E λ-=; (B) 00A E λ-≠; (C) 00A E λ-=; (D) 00A E λ-≠.二、填空题 (每题2分，共10分)1、1(2,1,0,3)k k α=-与2(5,3,,1)k k α=-+正交，则k = .2、(,)E i j 是交换n 阶单位阵第i 行与第j 行得到的初等矩阵，则1(,)E i j -= .3、四阶行列式中含有因子1123a a 的项为 .4、设A 是n 阶方阵,λ为实数，则行列式=A λ .5、向量组(A): 12,,,r ααα 与向量组(B): 12,,,s βββ 等价，且向量组(A)线性无关，则r 与s 的大小关系是 .三、计算与证明1、(12分)计算n 阶行列式122222222232222n(2n ≥).2、(12分)解方程组123412341234214222211112222x x x x x x x x x x x x ⎧⎪+-+=⎪+-+=⎨⎪⎪+--=⎩.3、(12分)设有线性方程组123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，问λ取何值时，此方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解.4、(12分)设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AB A B =+，求B .5、(12分)已知1(2,1,4,3)α=，2(1,1,6,6)α=--，3(1,2,2,9)α=---，4(1,1,2,7)α=-，5(2,4,4,9)α=，求12345,,,,ααααα生成的空间12345(,,,,)L ααααα的一组基和维数.6、(12分) 求一个正交变换x Py =，化二次型121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++为标准形，并确定其正惯性指数.7、证明 (每题4分，共8分)(1) 设A 与B 可乘，且0AB =，证明：()()R A R B A +≤的列数; (2) A 为正交阵，证明1A =或1-; 且当1A =时，ij ij a A =，当1A =-时，ij ij a A =-.2003线性代数试题 2004.1.5一、一、填空题（每题5分，共25分）1．直线 723-==-z y x 与平面08723=-+-z y x 的位置关系是 。

2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂101,121β，则向量α与β的夹角为 。

3．已知A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11312321λ，三阶方阵B ≠0，且满足AB ＝0，则λ＝ 。

4．设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，且m>n 。

则｜AB ｜＝ 。

5．已知()()()[]()=+⋅+⨯+=⋅⨯a c c b b a c b a 则,1 。

二、（10分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3260,3021,3142,32214321αααα 求向量组的一个极大无关组。

三、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200120312,100110011B A 化简矩阵方程X(E-B -1A)T B T =E ，并求矩阵X 。

四、（10分）已知α1，α2，α3，是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋λα2，β2＝α2＋λα3，β3＝α3＋λα1，讨论实数λ满足什么条件时，β1，β2，β3也是AX ＝0的一个基础解系。

五、（12分）λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321λλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解。

六、（12分）（1）设λ＝2是满秩矩阵A 的一个特征值，求13412-⎪⎭⎫⎝⎛-A A 的一个特征值。

（2）已知四阶方阵A 的特征值是－1，1，－2，2，求｜A ＊｜。

七、（15分）二次型323121232221222x bx x x x ax x x x f +++++=经正交变换化为标准形2322y y f += 。

求常数a, b 及所用的正交变换矩阵。

该二次型是否为正定二次型?八、（6分）设α，β，γ均为三维列向量，A ＝（α，β，γ），B ＝（β，γ，α），且｜A ｜＝－2。

求｜A ＋2B ｜ 。

一、填空题（每题3分，共24分）1．n 阶行列式0001001001001000=n D （副对角线元素为1，其余元素均为零）的值为2．设行列式D =1251122141201---x，元素x 的代数余子式的值是3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2012A ，12)(2+-=x x x f ，则=)(A f４．设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1200470000370025A ，则逆矩阵=-1A５．设n 元线性方程组b Ax =有解，则当)(A r n 时，b Ax =有无穷多组解６．二次型32312123222184444x x x x x x x x x f -+-++=的矩阵为７．设是A 正交矩阵，则行列式TAA ＝８．已知三阶矩阵A 的特征值为１，－１，２，则行列式235A A -＝二、 （6分）计算行列式0000a b a aa b b a a a b a D =三、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=410130213A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=041133B ，求矩阵方程X B AX 2+=的解矩阵X四、 （10分）已知向量组()()()1133,7115,4312),1531(4321--=-=--=-=αααα（1） 判断向量组4321,,,αααα 是否线性相关?（2） （2） 求此向量组4321,,,αααα 的一个极大无关组.五、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A （１）求A 的全部特征值（２）求A 的特征值对应的特征向量六、（6分）已知四阶矩阵A 相似于B ，A 得特征值为2，3，4，5，E 为四阶单位矩阵，计算行列式E B -的值..七、（12分）讨论λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-=+-0474005202321321321321x x x x x x x x x x x x λ只有零解、有非零解？当方程组有非零解时求出其解.八、（１4分）求一个正交变换PY X =，把二次型323121222x x x x x x f ++=化为标准型九、（8分）设向量组s ααα ,,,21线性相关，其中任意1-s 个向量线性无关，证明存在一组全不为零的数sk k k 2,1，使s s k k k ααα+++2211＝０.。