2020高考模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则U A =ðA ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6}2．若复数1(2)i m m ++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A ．()1,-∞-B ．()2,1-C ．()+∞,2D ．()(),12,-∞+∞U3．已知向量()()2,4,,2-==b a m ，且()()b a b a -⊥+，则实数=mA ．4-B ．4C ．2±D ．4±4．733x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是A ．189B ．63C ．42D ．215．已知323ln 31343,e ,2===cba ，则A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．函数1ln )(+=x xx f 的图象大致是A B C D7．设曲线1cos ()sin x f x x+=在3π=x 处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于A ．1-B ．23C ．2-D ．28．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x 年（2012年是第一年）捐赠的现金数y （万元）：x3 4 5 6 y2.5344.5若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是35.0ˆ+=mx y，则可预测2019年捐赠的现金大约是A ．5.95万元B ．5.25万元C ．5.2万元D ．5万元9．执行如图所示的程序框图，如果输入2019=n ，则输出的=SA ．40394038B ． 40392019C ．40372018D ．4037403610．若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是A ．1314 B ．47 C ．37D ．11411．已知112ω>，函数)4π+ω2sin(=)(x x f 在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B满足OA OB u u u r u u u r=，1OA OB u u u r u u u r ⋅=，则点集{}|,2,,R P OP OA OB u u u r u u u r u u u rλμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是.A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．在等差数列{}n a 中，若1=2a ，23+=10a a ，则7=a .14．若函数2()=e --x f x x ax 在区间0,（+∞）单调递增，则a 的取值范围是 . 15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为4，4,8b BA AC =⋅=u u u r u u u r ，则=a . 16．若函数()af x x a x=+－在区间()0,2上为减函数，则满足条件的a 的集合是 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分. 17．（12分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，满足5cos ()cos 3a Cbc A =-.（1）若1sin 5C =，10a c +=，求c ；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积S .18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a n b )12(-=,求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）已知函数32213()242a f x x x bx a =+++. （1）若1b =，当0x >时，()f x 的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证：a ≥-3； （2）若()f x 在2x =-时取得极值0，求a b +.20．（12分） 手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．（1）试计算图中的a 、b 值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值μ； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为ω，其超过平均值μ的百分数×100-=ωμεμ，若ε∈(0,10]，职工获得一次抽奖机会；若ε∈(10,20]，职工获得二次抽奖机会；若ε∈(20,30]，职工获得三次抽奖机会；若ε∈(30,40]，职工获得四次抽奖机会；若ε超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n ．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？21．（12分）已知函数()ln f x x ax =-.（1）讨论()f x 在其定义域内的单调性；（2）若1a =，且12()()f x f x =，其中120x x <<,求证：12123x x x x ++>.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]如图，在极坐标系Ox 中，以1π(1,)2C 和23π(2,)2C 为圆心的两圆外切于点O ，射线OA ，OB 的夹角为π3，分别交1C e 于O 、A 两点，交2C e 于O 、B 两点． （1）写出1C e 与2C e 的极坐标方程； （2）求OAB ∆面积最大值．23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数R ∈--=t t x x f ,2)(，3)(+=x x g . （1）R ∈x ，有)()(x g x f ≥，求实数t 的取值范围；（2）若不等式0)(≤x f 的解集为[]3,1，正数a 、b 满足222-=--t b a ab ，求b a 2+的最小值.第20题图参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题13．14 14． (],22ln 2-∞- 15． 16． {}4 注：写成单元数集才给分 三、解答题17．解：（1）55cos ()cos ,sin cos (sin sin )cos 33a C b c A A C B C A =-∴=-Q ……………1分5sin cos cos sin sin cos 3A C A C B A ∴+=，5sin cos sin()sin 3B A A C B ∴=+=………………2分3sin 0,cos 5B A ≠∴=Q ，则4sin 5A =…………………………………3分由正弦定理得，sin 4sin a A c C==，即4a c =，……………………………………………5分 联立10a c +=，得2c =…………………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-=，即2235505b =--=得b =分 则122sin 25S bc A ==…………………………………………………………12分18. 解：（1）∵22-=n n a S ，当1=n 时2211-=a S ∴21=a当2≥n 时 22-=n n a S ，2211-=--n n a S两式相减得 122--=n n n a a a (2)n ≥12-=n n a a 2≥n 021≠=a Θ21=∴-n na a 2≥n ∴{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列 n n a 2= ....................6分 （2）由（1）知n n nb 2)12(-=n n n n n T 2)12(2)32(252321132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=-Λ 14322)12(2)32(2523212+⋅-+⋅-+⋅+⋅+⋅=n n n n n T Λ两式相减得nn n n T 2)12(22222132⋅--+++⨯+=--）（Λ62)32(2)12(622)12(21)21(22112113---=⋅---=⋅----⋅+=-++++-n n n n n n n n n T62)32(1+-=+n n n T ...........................................12分19.23()34f x x ax b '=++（I ）23()3104f x x ax '=++≥ 23134x ax +≥-3134x a x +≥- 314x x+Q3a ∴-≤ a ∴≥ （II ）(2)360f a b '-=-+=2(2)26220f a b a -=-+-+= 解得2193a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当1,3a b ==时23()(2)04f x x '=+≥，函数无极值；2,9,11a b a b ∴==+=20.（I ）0.012,0.010a b ==，=125.6μ...........................................4分（II ）某职工日行步数=157()ω百步，×ε157-126.5=100126.5≈24∴职工获得三次抽奖机会设职工中奖次数为X 在方案甲下1(3,)X B :()1E X =在方案乙下()1E X =.8所以更喜欢方案乙...........................................12分21. （I ）11()axf x a x x-'=-=（1）0()0,()0,+a f x f x '≤>∞当时，则在区间（）上单调递增； （2）110(0,),()0,()(0,)a x f x f x a a'>∈>当时，在区间上单调递增；11(+),()0,()(+)x f x f x a a'∈∞<∞，在区间，上单调递减；...........................................4分（II ）由（I ）得：当1a =时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 1201x x ∴<<<将要证的不等式转化为12131x x x -+＞，考虑到此时，21x ＞，11311x x -+＞， 又当(1,)x ∈+∞时，()f x 递增。