2019年陕西省高考理科数学模拟试题与答案（一）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z 满足(1i)i z+=,则在复平面内复数z 所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2．设集合03x A N B xA B x ⎧⎫==≤⋂=⎨⎬-⎩⎭，，则A ．[0，3)B ．{1，2}C ．{0，l ，2}D ．{0，1，2，3}3. 若某多面体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此多面体的体积是A. 378cmB. 323cmC. 356cmD. 312cm4. 设,x y 满足约束条件4,4,4,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值为A.4B.8C.12D.165.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有A ．144种B ．48种C ．36种D ．72种6. 已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α= A. 725-B. 15-C.15D.7257．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为AA.3π B. 6π C. 8π D. 4π8. 当01x <<时，ln ()xf x x=，则下列大小关系正确的是 A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<9. 设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0=x 对称，则 A.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数D.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数 10.一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F 为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 11.设函数()f x 定义域为R ，且满足f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),当[]0,1x ∈时,f(x)=2x-1 , 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为A. 4B. 3C. 2D. 1 12．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13. 已知数列{}n a 的前n 项和n S =n2+n ，则a3 + a4＝ .14．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答） 15. 在ABC ∆中，313AC BC AB ===，且,,CE xCA CF yCB ==（其中(),0,1x y ∈），且41x y +=，若,M N 分别为线段,EF AB 中点，则线段MN 的最小值为 ．16．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则ab 的最小值为 ，由点(,)P a b 向圆所作两条切线，切点记为A,B ，当|AB|取最小值时，ABP ∆外接圆的半径 为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数)cos()(ϕ+=x x f （0<<-ϕπ），)(')()(x f x f x g +=是偶函数． （1）求ϕ的值；（2）求函数)()(x g x f y ⋅=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π的最大值． 18．（本小题满分12分）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图219. （本小题满分12分）大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑81i ii x y =∑81i ii w y =∑46.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280表中i w x =，8118i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c dx =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题：()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-.20. （本小题满分12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴，y 轴分别交于点,,D M N ，求NDCFDMS S ∆∆ 的最小值. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x . (1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2]θπ∈． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线:32x l y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）的距离最短，写出D 点的直角坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|--=x k x f ，R x ∈，且()04≥+x f 的解集为[-1，1].（1）求k 的值；（2）若c b a ,,是正实数，且131211=++kc kb ka ，求证：1939291≥++c b a .参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.C3.A4.C5.C6.D7.A8.D9.B 10.B 11.B 12.B第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13. 14 14. 30 15.16. 94-322三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.17.（本小题满分12分）（1）依题意，)sin()cos()(')()(ϕϕ+-+=+=x x x f x f x g ……………2分)4cos(2πϕ++=x ．……………3分因为)(')()(x f x f x g +=是偶函数，所以1)4cos(±=+πϕ．……………5分 又因为0<<-ϕπ，所以4πϕ-=．……………6分 （2）由（1）得，)4cos()(π-=x x f ，x x f x f x g cos 2)(')()(=+=．……………8分 21)42sin(22cos )4cos(2)()(++=-=⋅=ππx x x x g x f y ．……………10分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈++=212,121)42sin(22πx y ，故函数)()(x g x f y ⋅=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π的最大值为212+．……………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为 在△中，，分别为，的中点，所以，．所以 ，又为的中点，所以． [ 1分]因为 平面平面，且平面，所以 平面， [ 3分]所以 ． [ 4分] （Ⅱ）取的中点，连接，所以．由（Ⅰ）得，．如图建立空间直角坐标系． [ 5分] 由题意得，，，，． 所以 ，，．设平面的法向量为，则即令，则，，所以 ． [ 7分]设直线和平面所成的角为， 则．所以 直线和平面所成角的正弦值为． [ 9分]（Ⅲ）线段上存在点适合题意．设 ，其中． [10分]设 ，则有，所以 ，从而 ，所以，又，所以 ． [12分]令 ，整理得 ． [13分] 解得 ，舍去．所以 线段上存在点适合题意，且． [14分]19. （本小题满分12分）解：()Ⅰ由散点图可以判断y c x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w x =y 关于w 的线性回归方程()()()()()()()88888111118888222211118iii iiii iii ii i i i i i i i i i i i i y y w w w y wy yw wy w y wy w y wyd w ww ww ww w=========----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==，57368 6.8110.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为110.668y w =+， 所以y 关于x 的线性回归方程为110.668y x =+()Ⅲ()i 由()Ⅱ知，当64x =时，年销售量y 的预报值为110.66864654.6y =+=，年利润z 的预报值为654.60.26466.92z =⨯-=.()ii 根据()Ⅱ的结果知，年利润z 的预报值)20.2(110.668)22.12 6.868.36z x x x x x =⨯+-=-+=-+，6.8x =，即46.24x =时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以k OA ＋k OB ＝4y 1＋4y 2＝4(y 1＋y 2)y 1y 2＝－4m ＝4．所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0．（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－1m)，D (2m 2＋1，2m )．则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝ 12·|NC |·|x D |＝ 1 2·|2m 3＋3m ＋ 1m |·(2m 2＋1)＝(m 2＋1)(2m 2＋1)22|m |，S △FDM ＝ 12·|FM |·|y D |＝ 12·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)， 则S △NDC S △FDM ＝(2m 2＋1)24m 2＝m 2＋ 14m2＋1≥2， 当且仅当m 2＝ 14m 2，即m 2＝ 1 2时取等号． 所以，S △NDCS △FDM的最小值为2．其它解法参考答案给分． 21.(本小题满分12分)(1)因为f (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x ) ＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋(a －2)x x ＝－(2x －1)(ax ＋1)x.因为f (x )在x ＝1处取得极值，即f ′(1) ＝－(2－1)(a ＋1)＝0，解得a ＝－1. 当a ＝－1时，在(12，1)上f ′(x )<0，在(1，＋∞)上f ′(x ) >0，此时x ＝1是函数f (x )的极小值点，所以a ＝－1. (2)因为a 2<a ，所以0<a <1，f ′(x ) ＝－(2x －1)(ax ＋1)x.因为x ∈(0，＋∞)，所以ax ＋1>0，所以f (x )在(0，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减．①当0<a ≤12时，f (x )在[a 2，a ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (a )＝ln a －a 3＋a 2－2a ；②当⎩⎪⎨⎪⎧ a >12，a 2<12，即12<a <22时，f (x )在(a 2，12)上单调递增，在(12，a )上单调递减， 所以f (x )max ＝f (12)＝－ln2－a 4＋a －22＝a 4－1－ln2； ③当12≤a 2，即22≤a <1时，f (x )在[a 2，a ]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a 2)＝2ln a －a 5＋a 3－2a 2. 综上所述，当0<a ≤12时，函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值是ln a －a 3＋a 2－2a ； 当12<a <22时，函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值是a 4－1－ln2； 当22≤a <1时，函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值是2ln a －a 5＋a 3－2a 2.22．（本小题满分10分）解：（1）由[)=2sin ,0,2ρθθπ∈，可得22sin ρρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-= …………5分（2）直线l 的参数方程为()3332x t t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数，消去t 得l 的普通方程为35y x =-+， C 与l 相离，设点()00,D x y ，且点D 到直线:35l y x =-+的距离最短，则曲线C 在点D 处的切线与直线:35l y x =-+平行，()001.31y x -∴-=-，又()220011x y +-= 032x ∴=-或032x =， 032y ∴= ∴点D 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭…………10分23. （1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为. 又的解集为，故（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：，当且仅当时取等号，所以.。