2019年天津市高考数学模拟试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. B. C. D.2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C.D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. B.C. D.8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）若M为PC的中点，求证DM∥面PAB；（Ⅱ）求证：面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）求AC与面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁UA=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.【答案】A【解析】由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】A【解析】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.【答案】2【解析】解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】【解析】解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【解析】解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.【答案】3【解析】解：∵loga 2+logb16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据loga 2+logb16=3即可得出，从而得出log2（ab）=可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.【答案】【解析】解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=xlnx，则f′（x）=lnx+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.【答案】解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）【解析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cosB的值，利用正弦定理化简已知等式可求b的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6分），（8分），…（10分），………（11分）∴随机变量ξ的分布列为：ξ034P…………………………（12分）ξ的数学期望．………（13分）【解析】，由此利用n次（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.【答案】证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，AD∥BC且，则MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，DM⊄面PAB，AN⊂面PAB，所以DM∥面PAB．（Ⅱ）BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥面PAB，又BC⊆面PBC，所以面PAB⊥面PBC．解：（Ⅲ）AN⊥PB，AN⊥BC，PB∩BC=B，所以AN⊥面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与面PBC所成角的大小为30°．【解析】（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB．（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC．（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC 与面PBC所成角的大小．本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．【解析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN 斜率k 存在时：设MN 方程为y=k （x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k 的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM ：y=k 1（x+2）（k 1＞0），与椭圆联立，求出点M 的左边，同理求出点N 的坐标，将F 2，M ，N 坐标代入可得：（4k 1k 2+3）•（k 2-3k 1）=0，即可求证点P 在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.【答案】解：（Ⅰ），则f '（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x +y -2-2ln2=0； （Ⅱ）（-1舍去），所以f （x ）在为增函数，在（1，e ）为减函数， ∴，f （1）=-1，f （e ）=2-e 2； 所以；（Ⅲ）证明：g （x ）=2ln x -x 2-nx ，，假设g '（x 0）=0，则有，①-②得：， ∴， 由④得，∴；即； 即⑤； 令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2lnx-x2-nx，，假设g'（x）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。