等差数列及通项公式教案
一、教学目标
1.理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练运用。

2.通过对等差数列概念及通项公式归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的概括、抽象能力。

3培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力。

二、教学重、难点
1.教学重点：等差数列的概念及通向公式。

2.教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，等差数列的性质及应用。

三、教学方法
启发探究式教学法、情景教学法。

四、教学过程
（一）等差数列的概念教学
T：我们在中学的时候学习了实数研究了它的一些运算与性质（如加、减、乘、除运算，能被3,5,7整除的数的特征等）。

现在，我们面对一列数，能不能也像研究实数一样，研究它的项与项之间的关系，运算与性质呢？为此，我们从一些特殊数列入手来研究这些问题。

在现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列。

（1）我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0,5，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽⎽，………………………..；
（2）水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：
18，⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽⎽，5.5；
（3）有一堆桃子共100个，此时有20个猴子，每个猴子分得5个桃子，每个猴子所的桃子个数组成的数列为：
5,⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，⎽⎽⎽⎽，…………………..，5:；
T:下面请同学们来观察以上三数列有什么共同特征吗？（给时间让同学观察）教师总结这个共同特征，并再提问。

T：那是不是所有的数列都具有这样的特征喃？请同学们来看这样一组数列：3,5,8,2,10,9；所以只有特殊的数列才具有这样的特征，今天我们就给这些特殊的数列一个准确的称呼-----等差数列，这也是我们今天要学习的新课。

(教师板书等差数列的定义)教师请同学将前面的数列的公差求出来)
T:请同学们观察以上三数列的公差，很明显公差可以大于0，小于零，也可以等于零，是还是不是？那么在请同学们观察当公差大于零时，数列的趋势是怎么样的？当公差小于零时呢？等于零时呢？（带领同学观察数列变化趋势，培养同学的观察能力）
T：日常生活中，人们用到的等差数列还很多，有兴趣的同学可以下来搜集下。

现在老师这儿有由三个数组成的一个等差数列，他们是a，A，b；这时，我们把A称作是等差中项。

当然这是一列最简单的等差数列，以后我们将一列等差数列的每三项的中间一项都叫做等差中项。

那么请同学思考下A可以用a和b来表示吗？（带领学生用等差数列的定义推导出A=（a+b）/2）
（二）等差数列通项公式的推导
T：在请同学们看看第一列等差数列，如果我想知道这个数列的第5项是多少怎么办？当然同学们能很快回答我，那么第10项，甚至100项呢？下面我们就来探讨这个问题，他们是否存在一个通项公式呢？
T:我们用a1，a2，a3，a4，……………..an；来表示一列等差数列，由等差数列的定义我们有以下的结论：
a2-a1=d (1)
a3-a2=d (2)
a4-a3=d (3)
a5-a4=d (4)
:
:
:
a(n-1)-a(n-2)=d………………..n-2
an-a(n-1)=d……………………n-1
将上面（n-1）个式子相加就得到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d。

这个方法是累加法。

至此，我们就得到了等差数列的通项公式，同学们可以从式子中可以看到这个通项公式总共涉及四个量，它们分别是该数列的首项、末项、公差以及项数，所以只要我们知道其中任意的三个量就可以知道它的第四个量了。

（三）解释应用
1. （1）求等差数列8，5，2，…的第20项．
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
2. 某市出租车的计价标准为1.2元／千米，起步价为10元，即最初的4km （不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元．所以，可建立一个等差数列｛ａn｝来计算车费．
令ａ1＝11.2，表示4km处的车费，公差ｄ＝1.2．那么，当出租车行至14km 处时，ｎ＝11，此时须要支付车费ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．答：须要支付车费23.2元．
3. 已知数列｛ａn｝的通项公式为ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ为常数，且ｐ≠０，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定｛ａn｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看ａ－ａn-1（ｎ＞1）是不是一个与ｎ无关的常数．
n
解：取数列｛ａn｝中的任意相邻两项ａn与ａn-1（ｎ＞1），求差，得
ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝
ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．
它是一个与ｎ无关的数．所以｛ａn｝是等差数列．
（四）、拓展延伸
（1）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝3n－5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点．该图像与ｙ＝3ｘ－5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？
（2）通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？
（3）对于两个次数相同的等差数列｛ａn ｝和｛b n ｝，｛ａn ＋b n ｝，｛ａn ·b n ｝，（ｂｎ≠0）是否为等差数列？
五、作业布置
P40第1、3、4题
六、板书设计
数学与信息学院 2009级二班 李伶艳 学号：200908140219 §2.2等差数列
一、等差数列
1定义
2等差中项
二、通项公式 推导过程 （1）0,5,10,15,20，...... (2)18,15.5,13,10.5,8,5.5 (3)5,5,5,5, (5)。