§5.9 激励为任意波形的响应与卷积积分
5.9.1 卷积积分
首先，设两个相同函数)(1t f 和)(2t f ，且0<t 时两函数的值均为零，则)(1t f 与)(2t f 的卷积通常用)()(21t f t f *来表示，并由下列积分形式来定义：
ξξξd f t f t f t f t
)()()()(20121⎰-=* （5-65） 1.交换律
如果令ξτ-=t ，则ξτd d -=，则有
ττξd t f t f t f t t t f ⎰⎰--=-021201)()()()(
τττd f t f t )()(102⎰-=
=)(*)(12t t f f
即 )()()()(1221t f t f t f t f *=* （5-66）
2.分配律
)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* （5-67）
3.结合律
)]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** （5-68）
4.卷积的微分
dt t df t f dt t df t f dt t f t f d )()()()()]()([122121*=*=* （5-69） 卷积的积分
ξξξξξξξξd f f d f t f d f f t
t t
⎰⎰⎰∞-∞-∞-*=*=*)()()()()()(122121 （5-70）
)()()(*)(2121t f t f d f dt
t df t *=⎰∞-ξξ （5-71） 5.9.2 任意输入的零状态响应
如果电路的激励)(t e 的波形如图5-52所示，定义的时间区间是（0t ，t ），ξ表示从0t 到t 之间的任意时刻。

对于任意输入电路的激励作用，可以看成是一系列冲激强度不同的时间上依次延迟dt 的冲激激励波的叠加。

首先用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似表示)(ξe 。

把时间区间(0t ，t )分成相等的几段，每段宽度为△，即∆==-==-=-+ΛΛk k t t t t t t 11201。

因此)(ξe 可以用图示中的阶梯曲线来近似表示，即可看成一系列的矩形脉冲的合成。

这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单
位脉冲函数，即)(ξ∆p 和)(k t p -∆ξ来表示。

因此，可以用上述的矩形脉冲表示)(ξe ，即
+∆-+∆-+∆-=∆∆∆∆)()()()()()()(221100t p t e t p t e t p t e e ξξξξ ∆-++∆--∆-∆)()(...)()(...11n n k k t p t e t p t e ξξ
∆-=∆-=∑)()(10k n k k
t p t e ξ （5-78）
图6-52 )(ξe 的阶梯形近似描述
放电在单位矩形脉冲)(ξ∆p 激励下的零状态响应为)ξ（∆h ，对每一延迟的矩形脉冲
)(k t p -∆ξ,在时刻t 观察到的相应的响应将为）
（k t t h -∆，根据线性电路的齐次定理对∆-∆)()(k k t p t e ξ的响应将是∆-)()(k k t t h t e 。

所以按叠加定理，式（5-78）的激励所产生的响应为
∆-=∑-=∆∆∆10)()()(n k k k t t h t e
t r
为了保证)(ξe 的阶梯矩形近似更接近真实)(ξe ，令0t 到t 区间内的脉冲数不断的增加。

当∞→t 时，0→∆，每个单位矩形脉冲变成冲激函数，∆h 变成了冲激响应h ，e ∆变成了原来的激励)(t e ，响应)(t r ∆则变成电路对应原激励的零状态响应)(t r ，同时上式的求和也变成了积分， k t 变成了连续变量ξ，∆则变成了ξd 。

于是有
ξξd t h t e t r t
t k )()()(0-=⎰
其中0t 为任意激励施加的时刻，t 为待求响应所对应的时刻。

特别地，当00=t 时，有 ξξd t h t e t r t
k )()()(0-=⎰ （5-79） 或 ξξξd h t e t r t
⎰-=0)()()( （5-80） 式（5-79）和式（5-80）所示的积分就是卷积的积分。

因此只要知道电路的冲激响应，对于任意的激励函数)(t e 的作用，都可根据卷积的积分求电路的零状态响应。