高考仿真模拟卷(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合A={1,2,3,4,5},B={1,2,3},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则集合C 中的元素个数为( )(A)3 (B)11 (C)8 (D)122.如果复数2−bi(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于( )(A)√2 (B)23(C)-23(D)23.设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)54.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )(A)任意一个有理数,它的平方是有理数(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数(C)存在一个有理数,它的平方是有理数 (D)存在一个无理数,它的平方不是有理数5.设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|等于( )(A)√30(B)6 (C)12 (D)7√36.已知三棱柱的各侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为2∶1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为163π,则此三棱柱的侧面积为( ) (A)√3 (B)√32 (C)8 (D)67.已知函数f(x)=3sin （ωx-π6）(ω>0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同,若x ∈[0,π2],则f(x)的取值范围是( ) (A)[-3,3] (B)[-32,32] (C)[-√32,√32] (D)[-32,3] 8.阅读如图的程序框图,若输入n=6,则输出k 的值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 9.设x,y满足约束条件{x +y -7≤0,x -3y +1≤0,3x -y -5≥0,则z=2x-y 的最大值为( )(A)10 (B)8 (C)3 (D)210.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线是某个几何体的三视图(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆),则该几何体的表面积为( )(A)92+14π (B)82+14π (C)92+24π (D)82+24π第8题图第10题图11.已知f(x)=4−x+3x2-|4-x -3x|2-m 有两个不同的零点,则m 的取值范围是( )(A)(-∞,3) (B)[3,+∞) (C)(0,3) (D)(3,+∞)12.若定义在R 上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f ′(x)满足 f ′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( )(A)f(1k )<1k (B)f(1k )>1k -1 (C)f(1k -1)<1k -1 (D)f(1k -1)>k k -1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.二项式(x −1ax )6(a>0)展开式中x 2项的系数为15,则实数a= .14.在1,2,3,4共4个数字中,任取两个数字(允许重复),其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是.15.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+13x3,则f(x)= .16.已知F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线交双曲线C于A,且FM→=2MA→,则双曲线C的离心率是.三、解答题(共70分)17.(本小题满分12分)设数列{a n}为等差数列,且a3=5,a5=9;数列{b n}的前n项和为S n,且S n+b n=2.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若c n=a nb n(n∈N*),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.18.(本小题满分12分)某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的重量(单位:克),整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为[490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为重量超过505克的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的重量超过505克的概率(以频率作为概率).19.(本小题满分12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C PB A的余弦值.20.(本小题满分12分)如图所示,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其中e=12,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在A,M之间,又AB的中点横坐标为47,且AM→=λMB→.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数λ的值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(x+1),x∈(-1,0)∪(0,+∞).x(1)判断函数f(x)的单调区间;x+1,求实数k的最小值.(2)若对任意的x>0,都有f(x)<kx2-12请在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,△ABC内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P,∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D,E,若PA=2PB=10.(1)求证:AC=2AB;(2)求AD·DE的值.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆C 的圆心C(√2,π4),半径r=√3. (1)求圆C 的极坐标方程:(2)若α∈[0,π4),直线l 的参数方程为 {x =2+tcosα,y =2+tsinα(t 为参数),直线l 交圆C 于A,B 两点,求弦长|AB|的取值范围.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2;(2)当a>0时,不等式2a-3≥f(ax)-af(x)恒成立,求实数a 的取值 范围.高考仿真模拟卷(二)1.B2.C3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.B 10.A 11.C 12.C 13.解析:二项式(x −1ax)6(a>0)展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6-2r (-1)r a -r, 令6-2r=2得r=2,则x 2项的系数是C 62a -2=15,又a>0,则a=1.答案:114.解析:总共有4×4=16种排列方法,一个数字是另一个数字的2倍的所有可能情况有12、21、24、42,共4种,所以所求概率P=416=14.答案:1415.解析:因为f(x)=f ′(1)e x-1-f(0)x+13x 3, 所以f ′(x)=f ′(1)e x-1-f(0)+x 2, 令x=1,则f ′(1)=f ′(1)-f(0)+1, 所以f(0)=1, 令x=0,所以f(0)=f ′(1)e -1, 所以f ′(1)=e,所以f(x)=e x -x+1x 3. 答案:e x -x+13x 3 16.解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M (0,b 2), 设A(x A ,y A ),则由FM →=2MA →得(c,b 2)=2(x A ,y A -b2), 解得x A =c 2, y A =34b,得A (c 2,34b), 因为点A 在双曲线上, 所以c 24a 2-9b 216b 2=1,即c 24a 2-916=1, 所以c 24a 2=2516,即c 2a 2=254,即e 2=254, 所以e=52. 答案:5217.解:(1)由题意可得数列{a n }的公差d=12(a 5-a 3)=2, 故a 1=a 3-2d=1, 故a n =a 1+2(n-1)=2n-1, 由S n +b n =2可得S n =2-b n , 当n=1时,S 1=2-b 1=b 1, 所以b 1=1,当n ≥2时,b n =S n -S n-1=2-b n -(2-b n-1), 所以b n =12b n-1, 所以{b n }是以1为首项,1为公比的等比数列, 所以b n =1·（12）n-1=（12）n-1. (2)由(1)可知c n =a n b n=(2n-1)·2n-1, 所以T n =1·20+3·21+5·22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1,故2T n=1·21+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,两式相减可得-T n=1+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2×2(1−2n-1)1−2-(2n-1)·2n=-3+(3-2n)·2n.所以T n=3+(2n-3)·2n.18.解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505克的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C282C402=63 130,P(X=1)=C281C121C402=28 65,P(X=2)=C122C402=11 130.所以随机变量X的分布列为(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3.设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量,则Y～B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=C52×0.32×0.73=0.3087.19.(1)证明:由PA垂直圆所在平面得PA⊥BC,由AB是圆的直径得AC⊥BC,又AC ∩PA=A,所以BC ⊥平面PAC,又BC ⊂平面PBC,所以平面PAC ⊥平面PBC. (2)解:法一 过C 作CM ∥AP,则CM ⊥平面ABC.如图所示,以点C 为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.在Rt △ABC 中,因为AB=2,AC=1, 所以BC=√3.因为PA=1,所以A(0,1,0),B(√3,0,0),P(0,1,1). 故CB →=(√3,0,0),CP →=(0,1,1). 设平面BCP 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则{CB →·n 1=0,CP →·n 1=0,所以{√3x 1=0,y 1+z 1=0,不妨令y 1=1,则n 1=(0,1,-1). 因为AP →=(0,0,1),AB →=(√3,-1,0), 设平面ABP 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 则{AP →·n 2=0,AB →·n 2=0,所以{z 2=0,√3x 2-y 2=0,不妨令x 2=1,则n 2=(1,√3,0). 于是cos<n 1,n 2>=√32√2=√6,所以由题意可知二面角C PB A 的余弦值为√64. 法二 过C 作CM ⊥AB 于M,因为PA ⊥平面ABC,CM ⊂平面ABC, 所以PA ⊥CM, 故CM ⊥平面PAB.过M 作MN ⊥PB 于N,连接NC, 由三垂线定理得CN ⊥PB,所以∠CNM 为二面角C PB A 的平面角. 在Rt △ABC 中,由AB=2,AC=1, 得BC=√3,CM=√32,BM=32. 在Rt △PAB 中,由AB=2,PA=1, 得PB=√5.因为Rt △BNM ∽Rt △BAP, 所以MN1=32√5,故MN=3√510.又在Rt △CNM 中,CN=√305,故cos ∠CNM=√64.所以二面角C PB A 的余弦值为√64. 20.解:(1)由条件可知c=1,a=2,故b 2=a 2-c 2=3,故椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1. (2)设点A(x 1,y 1),点B(x 2,y 2). 若直线AB ⊥x 轴,则x 1=x 2=4,不合题意. 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时, 设直线l 的方程为y=k(x-4).由{y =k(x -4),x 24+y 23=1消去y 得(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0.① 由①的判别式Δ=322k 4-4(4k 2+3)(64k 2-12) =144(1-4k 2)>0, 解得k 2<14, { x 1+x 2=32k 24k 2+3,x 1x 2=64k 2-124k 2+3,由x 1+x 22=16k 24k 2+3=47可得k 2=18, 将k 2=18代入方程①得7x 2-8x-8=0, 则x 1=4−6√27,x 2=4+6√27. 又因为AM →=(4-x 1,-y 1),MB →=(x 2-4,y 2),AM →=λMB →,所以λ=4−x 1x 2-4,所以λ=-9-4√2.21.解:(1)f ′(x)=xx+1-ln(x+1)x 2,设g(x)=xx+1-ln(x+1),不妨令x>-1,则g ′(x)=1(x+1)2-1x+1=-x (x+1)2, 当x ∈(-1,0)时,g ′(x)>0,g(x)为增函数; 当x ∈(0,+∞)时,g ′(x)<0,g(x)为减函数. 所以g(x)≤g(0)=0,所以在x ∈(-1,0)∪(0,+∞)时, f ′(x)<0.所以f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)上为减函数.(2)若x>0,f(x)<kx 2-12x+1等价于ln(x+1)-kx 3+12x 2-x<0, 设函数h(x)=ln(x+1)-kx 3+1x 2-x,对于函数h(x),不妨令x ≥0. 所以h(0)=0,h ′(x)=1x+1-3kx 2+x-1 =-3kx 3+x 2-3kx 2x+1=x 2(-3kx+1-3k)x+1.当k ≤0时,在x ∈[0,+∞)时,h ′(x)≥0,所以h(x)在x ∈[0,+∞)上为增函数,所以h(x)≥h(0)=0,不符合题意;当0<k<13,在x ∈[0,1−3k 3k ]时,h ′(x)≥0,所以h(x)在x ∈[0,1−3k3k]上为增函数,所以h(x)≥h(0)=0,不符合题意;当k≥13时,在x∈[0,+∞)时,h′(x)≤0,所以h(x)在x∈[0,+∞)上为减函数,所以h(x)≤h(0)=0,即ln(x+1)-kx3+12x2-x<0在x>0上成立,符合题意.综上,实数k的最小值为13.22.(1)证明:因为PA是圆O的切线,所以∠PAB=∠ACB,又∠P是公共角,所以△ABP∽△CAP,所以ACAB =APPB=2,所以AC=2AB.(2)解:由切割线定理得PA2=PB·PC, 所以PC=20,又PB=5,所以BC=15,又因为AD是∠BAC的平分线,所以ACAB =CDDB=2,所以CD=2DB,所以CD=10,DB=5,又由相交弦定理得AD·DE=CD·DB=50.23.解:(1)因为C(√2,π4)的直角坐标为(1,1), 所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)-1=0.代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3, (2)将{x=2+tcosα,y=2+tsinα得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3,即t2+2t(cosα+sinα)-1=0.所以t1+t2=-2(cosα+sinα),t1·t2=-1.所以|AB|=|t1-t2|=√(t+t2)2-4t1t21=2√2+sin2α.因为α∈[0,π).4所以2α∈[0,π),所以2√2≤|AB|<2√3.即弦长|AB|的取值范围是[2√2,2√3).24.解:(1)原不等式等价于≤x≤1.当x≤1时,-2x+3≤2,即12当1<x≤2时,1≤2,即1<x≤2..当x>2时,2x-3≤2,即2<x≤52综上所述,原不等式的解集为{x|1≤x≤5}.(2)当a>0时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|,所以2a-3≥|a-1|,所以a≥2.即实数a的取值范围为[2,+∞).。