2019高考仿真模拟卷(三)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2018·泸州模拟)设集合P ＝{(x ，y )|y ＝k }，Q ＝{(x ，y )|y ＝2x }，已知P ∩Q ＝∅，那么k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(1，＋∞)
2．(2018·华南师大附中一模)“(⌝p )∨q 为真命题”是“p ∧(⌝q )为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2018·华南师大附中一模)欧拉公式e ix ＝cosx ＋isinx (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e ai
为纯虚数，则复数
sin2a ＋i
1＋i
在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4．(2018·安徽淮南二模)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是(
)
A ．①②
B ．②④
C ．②③
D ．①④
5．(2018·雅安三模)已知⎝⎛⎭⎫2x ＋1
x n 展开式的各个二项式系数的和为128，则⎝
⎛⎭⎫2x ＋1
x n 的展开式中x 2的系数为( ) A ．448 B ．560 C ．7 D ．35
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(
)
A ．1＋22
B ．1－32
C ．1－3－2
2
D ．1＋
3－2
2
7．已知3sinα－cosα＝4
3，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝( ) A ．0 B ．43
C ．－43
D ．23
8．(2018·江西南昌二模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF |＝5，则△PFK 的面积为( ) A ．4 B ．5
C ．8
D ．10
9．如图，△GCD 为正三角形，AB 为△GCD 的中位线，AB ＝3AE ，BC ＝3BF ，O 为DC 的中点，则向量
FE
→，OF →
夹角的余弦值为( )
A ．1
2
B ．－12
C ．－2
2
D ．
22
10．(2018·辽宁葫芦岛二模)王老师的班上有四个体育
健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；
王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
11．已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >b >0)右支上一点，
点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S △IPF 1－S △IPF 2≥1
3S △IF 1F 2成立，则双曲线离心率的取值范围
是( ) A ．(1，2] B ．(1，2) C ．(0，3] D ．(1，3]
12．已知函数f (x )＝2ax 3
－3ax 2
＋1，g (x )＝－a 4x ＋3
2
，
若对任意给定的m ∈[0，2]，关于x 的方程f (x )＝g (m )在区间[0，2]上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．⎣⎡⎭⎫1
8，1 C ．(0，1)∪{－1} D ．(－1，0)∪⎝⎛⎦⎤0，1
8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为________．
14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
3x ＋y ≤π，
x ≥π
6，
y ≥0，
则
sin (x ＋y )的取值范围为________(用区间表示)．
15．(2018·天津南开中学模拟)用五种不同的颜色给三棱柱ABC －DEF 六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有________种(用数字作答)．
16．(2018·湖北荆州二模)四面体A －BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{log 1
3a n }是公差为－1的等差数列，且
a 2＋2是a 1，a 3的等差中项．
(1)证明数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和，且T n <M 恒成立，求
实数M 的取值范围．
18．(本小题满分12分)第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1000名市民，将他们的年龄分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求这1000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)调查发现年龄在[20，40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在[20，40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；
(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k 名市民的年龄在[60，80]的概率为P (X ＝k )，其中k ＝0，1，2，…，20，当P (X ＝k )最大时，求k 的值．
19．(2018·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)如图，边长为
2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面
垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
20．(2018·福建师大附中模拟)(本小题满分12分)已知点A (1，0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ：x 2＋y 2＝4．
(1)求动点B 的轨迹方程；
(2)已知点P (2，0)，Q (2，－1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．
21．(2018·江西九江三模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xlnx ＋a ·e 1－
x (a ∈R )．
(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；
(2)若f (x )<a (x －1)2＋a 在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝7cos θ，
y ＝3＋7sin θ
(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ＝
1
sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π6． (1)试判断直线l 与曲线C 的位置关系；
(2)若直线θ＝π
3(ρ∈R )与直线l 交于点A ，与曲线C 交
于M ，N 两点，求|AM |·|AN |的值．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f (x )＝ln (|x －2|＋|ax －a |)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；
(2)若∀x ∈R ，都有f (x )＋1≥0恒成立，求实数a 的取值范围．。