海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2018.5第一部分（选择题共 40分）一、选择题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集 U {1,2,3, 4,5,6}, 集合 A { 1,2,4}, B { 1,3,5} ，则( e U A) I B = （A）{1} （ B） {3,5} （ C） {1 ,6} （ D） {1,3,5,6}（2）已知复数z在复平面上对应的点为(1, 1) ，则（ A ）z+1是实数（ B）z+1是纯虚数（ C）z+i是实数（ D）z+i是纯虚数（3）已知 x y 0 ，则1 1（B ）(1)x (1 )y（ A ）yx 2 2 （ C）cosx cosy （ D） ln( x 1) ln( y 1)（4）若直线x y a 0 是圆x2 y2 2y 0的一条对称轴，则a的值为（A）1 （B）1 （C）2 （D）2（5）设曲线C是双曲线，则“C的方程为x 2 y21”是“C的渐近线方程为y 2 x”4的（ A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）关于函数 f x sin x x cosx ，下列说法错误的是（A ）f x是奇函数（B）0不是f x的极值点（ C）f x 在(, )上有且仅有个零点32 2（D）f x的值域是R（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是开始（ A ）求首项为1，公比为 2 的等比数列的前2017 项的和S = 0， n = 1（ B）求首项为1，公比为 2 2018 S = S + 2n - 1的等比数列的前项的和n = n + 2（ C）求首项为1，公比为 4 的等比数列的前1009 项的和否n > 2018是（ D）求首项为1，公比为 4 的等比数列的前1010 项的和输出 S（8）已知集合M {x N* |1 x 15}，集合 A1, A2 ,A3满足结束① 每个集合都恰有5个元素②A1U A2 UA3 M ．集合 A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i 1, 2,3），则X1 X2 X3的值不可能为（）．（A）37 （B）39 （C）48 （D）57第二部分（非选择题共110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

（9）极坐标系中，点(2, ) 到直线cos 1的距离为________.2（10 ）在 ( x 2 ) 5的二项展开式中，x 3的系数为.x（ 11）已知平面向量a，b的夹角为，且满足 | a | 2 ， | b | 1 ，则 a b ，3| a 2b | .（12 ）在 ABC 中， a : b : c 4:5:6 ，则 tanA .（13 ）能够使得命题“曲线x2y2 1(a 0) 上存在四个点P，Q，R，S满足四边形4 aPQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为.（14 ）如图，棱长为2的正方体 ABCD ABC D 中，M 是1 1 1 1 D 1 C1棱 AA的中点，点P 在侧面 ABBA内，若 DP垂直于CM，1 1 1 1A1 B1则PBC 的面积的最小值为_________.M PCDA B三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题 13 分）如 图 ， 已 知 函 数 f ( x ) A sin( x )( A0, 0,) 在一个周期内的图象经过 B ( ,0) ，y26 DC (2 5三点．,0) ， D(, 2)312（Ⅰ）写出 A ，， 的值；O BCx（Ⅱ）若(5 , 2) ，且 f ( ) 1 ，求 cos2 的值．12 316. （本小题共 13 分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10 名学生进行了两轮 测试 ，并把两轮 测试成绩 的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：1号2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号第一轮测96898888929087909290试成绩第二轮测90 90 90 88 88 87 96 92 89 92试成绩( Ⅰ) 从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率；( Ⅱ) 从考核成绩大于等于 90 分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于 90 分的概率；2( Ⅲ) 记抽取的 10 名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为x 1 ， s 1 ，考核成绩的平均数和方差分别为x 2 ， s 22 ，试比较 x 1 与 x 2 ， s 12 与 s 22 的大小 . （只需写出结论）17. （本小题共 14 分）如图，在三棱柱 ABC ABC 中， AC BCAB 2 ， AB 1 ⊥平面 ABC ，1 1 11AC AC ， D ， E 分别是 AC ， BC 的中点．1 1 1C 1A 1（Ⅰ）证明： ACBCE1 1B 1（Ⅱ）证明：DE // 平面 AAB B ；1 1（Ⅲ）求DE与平面 BBC C 所成角的正弦值 .1 1CDAB18. （本小题共 14 分）2已知椭圆 C ： xy 21 ， F 为右焦点，圆O ： x 2y 2 1， P 为椭圆 C 上一点，4且 P 位于第一象限，过点P 作 PT 与圆 O 相切于点 T ，使得点 F ， T 在 OP 两侧 .（Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值 .19. （本小题共 13 分）已知函数f (x )e ax ax 3（ a 0 ）（Ⅰ）求 f ( x) 的极值；（Ⅱ）当 a 0 时，设 g ( x)1 e ax 1 ax2 3x .求证：曲线 y g ( x) 存在两条斜率为1且a 2不重合的切线 .20. （本小题共 13 分）如果数列a n “i , j ， i j ，都存在正整数 k，使得 aaa”满足 对任意正整数ki j，则称数列 a n 具有 “性质 P ”已.知数列 a n 是无穷项的等差数列，公差为 d .（Ⅰ）若 a 1 2，公差 d 3 ，判断数列 a n 是否具有 “性质 P ”，并说明理由；（Ⅱ）若数列a1n具有 “性质 P ”，求证： a 0 且 d 0 ；（Ⅲ）若数列a n 具有 “性质 P ”，且存在正整数 k ，使得 a k 2018，这样的数列 a n 共有多少个？并说明理由海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数学（理科）2018.5第一部分（选择题共 40分）一、选择题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678B C D B A C C A第二部分 （非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．（9）1 （10） 10 （11）1； 2 3（12）73（ 13）答案不唯一， a0 或 a 4 的任意实数（14）2 55三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题 13 分）解：（Ⅰ） A2 ，2 ，．·7分3（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f ( x) 2sin(2 x) ．3 因为 f () 1，所以 sin(2) 1． ·······················8 分3 2因为所以所以52)，所以 2( , ) ． ················9 分 (,12 33 225 ， ··································11 分6 37 2， ·····································12 分6所以 cos2cos 73． (13)分6216. （本小题共 13 分）解： （Ⅰ）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93， 89.5， 89，88， 90，88.5， 91.5， 91，90.5， 91．其中大于等于90分的有 1号、5号、7号、8号、9号、10号，共 6人. ·1分所以样本中学生考核成绩大于等于90 分的频率为：6·3 分0.6，10从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90 分的概率为0.6. ·4 分（Ⅱ）设事件A：从上述考核成绩大于等于90 分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90 分 . ···························5 分由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于 90 分的学生共 6 人，其中两轮测试成绩均大于等于 90 分的学生有 1 号， 8 号， 10 号，共 3 人. ··················6 分C32 3 1···························9 分所以， P( A) .C62 15 5（Ⅲ） x1 x2，s12 s22 . ··································13 分17.（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）因为AB1⊥平面 ABC ， AC平面ABC，所以 AB1AC ．··································1分因为 AC1AC ， AB1 I AC1 A ， AB1， AC1平面AB1C1，所以 AC平面AB1C1．·······························3分因为 B1C1平面AB1C1，所以 AC B1C1．···································4分（Ⅱ）法一：取A1B1的中点 M ，连接 MA 、 ME ．因为 E 、 M 分别是B1C1、A1B1的中点，所以ME∥ A1C1 ，且ME 2 A1C1． 5 分1 ···························C 1 A11E在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AD P A1C1 ，且，MAD AC12 1 B1 所以 ME∥ AD，且 ME=AD，所以四边形ADEM 是平行四边形，········6分DC AB所以 DE∥ AM．····················7分又 AM平面AA1B1B，DE平面AA1B1B，所以 DE / / 平面 AA1 BB ．··············9分注：与此法类似，还可取AB 的中点 M，连接 MD 、MB1．法二：取 AB 的中点M，连接MD、MB1．因为 D 、M分别是 AC、 AB 的中点，所以 MD∥BC，且 MD 1BC．·········5 分C 2在三棱柱 ABC A1 B1 C1中， B1 E P BC ，且 B1 E 1 BC，2所以 MD∥ B1E，且 MD =B1E，所以四边形B1E DM 是平行四边形，·······6分所以 DE∥ MB1．····················7分又 MB1平面AA1B1B，DE平面AA1B1B，所以 DE / / 平面 AA1 BB ．··············9分法三：取 BC 的中点M，连接MD、ME．因为 D、 M 分别是CA、CB的中点，C1EB1D AMBA1所以， DM / / AB ．·································5分在三棱柱 ABC A1 B1 C1中，BC / / B1C1， BC B1C1，C1因为E、M分别是 C1B1和 CB 的中点，EB1 所以， MB / /EB1， MB EB1，所以，四边形MBB1 E 是平行四边形，······6分C DA所以， ME / / BB1．···················7分MBA1 又因为 MEI MD M ，BB1I AB B，ME ,MD 平面 MDE ， BB1 , AB 平面 AA1 B1B ，所以，平面MDE / / 平面 AA1 B1 B ．········8分z因为， DE 平面 MDE ，C1 A1E 所以， DE / / 平面 AA1BB ．············9 分B1（Ⅲ）在三棱柱ABC A1B1C1中， BC / / B1C1 ，因为 AC B1 C1，所以AC BC ． C Dy A在平面 ACB1内，过点 C 作 Cz / / AB1， B因为， AB1 平面 ABC ，x所以， Cz 平面 ABC ．···············10分建立空间直角坐标系C-xyz，如图．则C (0,0,0) , B(2,0,0) , B1 (0, 2, 2) , C1 ( 2,2,2) ,D (0,1,0) , E( 1,2, 2) .uuur uuur uuurDE ( 1,1,2) ，CB (2,0,0) ， CB1 (0,2,2) ．··············11分设平面 BB1C1C 的法向量为n (x, y, z) ，则uuur0 2x 0n CBuuur ，即，n CB1 0 2 y 2z 0得 x 0 ，令y 1，得 z 1，故n (0,1, 1)．··············分12设直线DE与平面 BB1 C1C 所成的角为θ，uuuruuurn则 sinθ＝cosDE3 ，DE , n uuur| n ||DE| 6所以直线 DE 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 3 . ············14 分618. （本小题共14 分）解：（Ⅰ）在椭圆 C ：x 2y 2 1中， a 2 ， b 1，4所以 ca 2b 23 ， ·······························2 分故椭圆 C 的焦距为 2c 2 3 ， ··························3 分离心率 e c3． ··································5 分a2（Ⅱ）法一：设 P( x 0 , y 0 ) （ x 0 0 ， y 0 0 ），y则 x 02x 02Ty 02 1，故 y 02 1 ． ·········6 分 4 42222 232O所以 |TP| |OP | | OT | x 0 y 0 1 4 x 0 ，所以|TP|3x 0 ， ··················8 分2SOTP1|OT| |TP |3x 0 ． ······9 分24又 O(0,0) ， F ( 3,0)，故S OFP1OF y 03y 0 ． ···········10 分22因此S四边形 OFPTSOFPSOTP3 (xy 0 ) ···············11 分223 x 02x 0 y 0y 0231 x 0 y 0．242x 0221，得 2x 221，即 x 0y 0 1 ，由4y 0y 04所以S 四边形 OFPT31 x 0 y 06， ·······················13 分22当且仅当x 02y 021 ，即 x 02 ， y 02时等号成立 .··········14 分422（Ⅱ）法二：设 P(2cos ,sin ) （ 0）， ····················6 分PFx2则 |TP |2 | OP |2 | OT |2 4cos 2 sin 2 1 3cos 2 ，所以 | TP |3 cos， ································8 分S OTP1| OT | |TP |3cos ． ······················9 分22又 O(0,0) ， F ( 3,0)，故S OFP1 OF y 03sin22．·········10 分因此S四边形 OFPTSOFPSOTP3 (cos sin ) ·············11 分26sin() 6， ·······················13 分24 2当且仅当时，即 x 02 ， y 0 2时等号成立． ···········14 分 4219. （本小题共 13 分）解：（Ⅰ）法一： f '( x) a e axa a (e ax 1) (a 0, x R ) ， ··········1 分令 f '( x) 0 ，得 x 0 ． ·······························2 分 ①当 a0 时， f '(x) 与 e ax 1符号相同，当 x 变化时， f '(x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x( ,0)0 (0, )f '( x)f ( x)↘极小 ↗··················································4 分②当 a 0时， f '(x) 与 e ax 1符号相反，当 x 变化时， f '(x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x ( ,0)0 (0, )f '( x)f ( x)↘ 极小 ↗··················································6 分综上， f ( x) 在 x0 处取得极小值 f (0) 2 . ···············7 分法二：'( ) ax( ax 1) (a 0, x R ) ， (1)f aea a e 分x令 f '( x) 0 ，得 x 0 ． ·······························2 分令 ( x )a ( e ax 1)，则 h '(x)a 2ax··················分he ，3 易知 h '( x) 0 ，故 h( x) 是 ( ,)上的增函数，即 f '( x) 是 (, ) 上的增函数． ··························4 分所以，当 x 变化时， f '( x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x(,0)0 (0, )f '( x)f ( x)↘极小 ↗··················································6 分因此， f ( x) 在 x 0 处取得极小值 f (0)2 . ···············7 分（Ⅱ） g '( x)e axax 3f ( x ) (a 0, x R ) ， ·················8 分 故 g '( x)1 f (x) 1 ． ··························9 分注意到 f (0)2 1， f ( 2)e 251， f ( 2 ) e 2 1 1 ，aa 所以， x 1 (2,0) ， x 2 (0, 2) ，使得 f ( x 1 ) f ( x 2 )1 ．a a因此，曲线 yg(x) 在点 P ( x , f (x )) ， P (x , f (x )) 处的切线斜率均为 1.11122 2··················································11 分下面，只需证明曲线 y g( x) 在点 P 1 ( x 1 , f ( x 1 )) ， P 2 ( x 2 , f ( x 2 )) 处的切线不重合 . 法 一 ： 曲 线 yg( x) 在 点 P i (x i , f (x i )) （ i 1,2）处的切线方程为y g ( x i )( x x i ) ， 即 y x g( x i ) x i ． 假 设 曲 线 yg ( x) 在 点 P i ( x i , f ( x i ))（ i 1,2 ）处的切线重合，则 g( x 2 ) x 2g( x 1 ) x 1 ． ···············12 分法二：假设曲线y g(x) 在点i( i , f ( i ))i 1x 2处的切线重合，则P x x1,2 ， xg( x 2 ) g( x 1)x 2g ( x 1 ) x 1 ． ··············12 分x 2 1，整理得： g ( x 2 )x 1法一：由 g '(x i )eaxiax i 31 ，得 eaxiax i 2 ，则g (x i ) x i1 (ax i 2) 1a x i 2 3x i x i1a x i 2 x i 2 ．a 22 a因为 x 1x 2 ，故由 g( x 2 ) x 2 g( x 1 )x 1 可得 x 1x 22．a而 x( 2 ,0) ， x 2 (0, 2) ，于是有 x x22 02 ，矛盾！1a a 1 aa法二：令 G (x)g( x)x ，则 G( x 1 ) G ( x 2 ) ，且 G '(x) g '( x) 1 f ( x) 1.由（Ⅰ）知，当 x (x 1 , x 2 ) 时， f ( x)1，故 G '(x) 0 ．所以， G ( x) 在区间 [ x 1 , x 2 ] 上单调递减，于是有 G (x 1 ) G ( x 2 ) ，矛盾！因此，曲线 yg(x) 在点 P i ( x i , f ( x i )) i 1,2 处的切线不重合． ···13 分20. （本小题 13 分）解：（Ⅰ）若 1，公差d 3 ，则数列 { n } 不具有性质P ． ············1 分a 2a理由如下：由题知 a n3n 1 ，对于 a 1 和 a 2 ，假设 存在正整数k ，使得 a k a 1 a 2 ， 则有3k 1 2 510 ，解得 k11 ，矛盾！所以对任意的 k N *， a k a 1 a 2 ． ·3 分3（Ⅱ）若数列a n 具有 “性质 P ”，则①假设 a 10 ， d0 ，则对任意的 nN * ， a na 1 (n 1) d 0.设 a k a 1 a 2 ，则 a k 0 ，矛盾！ ··························4 分②假设 a 10 ， d 0 ，则存在正整数 t ，使得a 1 a 2 a 3 a t0 a t 1a t 2设 a 1 a t 1 a k 1 ， a 1 a t 2 a k 2 ， a 1 a t 3 a k 3 ， ， a 1 a 2t 1a k t 1 ， k i N * ，i 1,2,L ,t 1，则 0ak 1ak 2ak 3a k t 1 ，但数列 { a n } 中仅有 t 项小于等于 0，矛盾！ ················································6 分③假设 a 10 ， d 0 ，则存在正整数 t ，使得a 1a 2 a 3a t0 a t 1 a t 2设 a t 1 a t 2a k ，a t 1 a t 3 a k ，a t 1 a t 4a k ， ，a t 1 a 2t 2 a k ，N *，123t 1kii 1,2,L ,t 1，则 0 a k 1 a k 2 a k 3a k t 1 ，但数列 { a n } 中仅有 t 项大于等于 0，矛盾！ ················································8 分综上， a 10 ， d 0 ．（Ⅲ）设公差为d 的等差数列 a n 具有 “性质 P ”，且存在正整数 k ，使得 a k 2018 ．若 d0 ，则 { a n } 为常数数列，此时 a n2018 恒成立，故对任意的正整数 k ，a k 2018 20182a 1 a 2 ，这与数列“P ”0 ．a n 具有 性质 矛盾，故 d设 x 是数列 { a n } 中的任意一项，则x d ， x 2d 均是数列 { a n } 中的项，设a k 1x(x d ) ， a k 2 x( x 2d )则 a k 2 a k 1 xd (k 2k 1 ) d ，因为 d0 ，所以 x k 2 k 1Z ，即数列 { a n } 的每一项均是整数．10 ， d 0，故数列 n} 的每一项均是自然数，且 d是正整数．由（Ⅱ）知， a{ a由题意知，2018 d 是数列 { a n } 中的项，故 2018 (2018d) 是数列中的项，设a m2018 (2018 d) ，则a m a k2018 (2018 d) 2018 2018 2017 2018d (m k) d ，即 ( m k 2018) d 2018 2017 ．因为 mk2018 Z ， dN * ，故 d 是 2018 2017 的约数．所以， d1,2,1009,2017,2 1009,22017,1009 2017 , 2 1009 2017 ．当 d1 时， a 1 2018 ( k 1) 0 ，得 k1,2,...,2018,2019 ，故a1 2018, 2017,..., 2,1,0 ，共2019 种可能；当 d12018 2( k 1) 0，得 k 1,2,...,1008,1009,1010 ，故2 时，aa1 2018, 2016, 2014,..., 4,2,0 ，共 1010 种可能；当 d 1009 时，a1 2018 1009 ( k 1) 0 ，得k 1,2,3 ，故a1 2018,1009,0 ，共3种可能；当 d 2017 时，a1 2018 2017( k 1) 0 ，得 k 1,2 ，故a1 2018,1 ，共 2 种可能；当 d 2 1009 时， a1 2018 2018 ( k 1) 0 ，得 k 1,2 ，故a1 2018,0 ，共 2 种可能；当 d 2 2017 时，a1 2018 2 2017 ( k 1) 0 ，得k 1 ，故a1 2018 ，共 1 种可能；当 d 1009 2017时，a1 2018 1009 2017 (k 1) 0 ，得k 1 ，故a1 2018 ，共 1 种可能；当 d 2 1009 2017 时，a1 2018 2 1009 2017 (k 1) 0 ，得k 1 ，故a1 2018 ，共 1 种可能．综上，满足题意的数列{ a n } 共有2019 1010 3 2 2 1 1 1 3039 （种）．经检验，这些数列均符合题意．13 分。