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工程电磁场
只取决于电场的最后状态， 与电场的建立过程无关。 为便于计算，
设静电场中最终电荷分布的体密度为 ， 面密度为 ，所产生电场的电位为 。
假定在电场的建立过程中各处的电荷密度 从零开始以相同的比例同步增长，
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工程电磁场
系数 0～1， 当电荷分布为 和 时， 电位分布应为 。 当电荷分布由 和 增加到
工程电磁场
工程电磁场
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工程电磁场
8 电磁场的能量和力
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工程电磁场
8.1 静电场的能量
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工程电磁场
1．静电场能量的来源
电场能量等于
电场建立过程中电场力做功的负值，
也就是克服电场力的外力做功的数值。
因此电场能量来源于
电场建立过程中外力提供的能量。
在线性媒质中，静电场能量的数值
S 是面电荷分布的曲面。
整个过程中克服电场力的外力所做的功
全部转化为电场的能量。 因此，电场能量可表示为
We
1 2
V
dV
1 2
dS
S
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工程电磁场
对于由 n 个导体组成的静电系统，
假定空间无体电荷分布，
面电荷分布于导体表面，
每个导体表面都是等位面。有
We
n k 1
1 2
Sk
kk dSk
n k 1
1 2 k
Sk
k dSk
n
k 1
1 2 k qk
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工程电磁场
2．静电场能量的分布
连续分布电荷系统静电能量的表达式为
We
1 2
V
dV
1 2
S
d S
说明可以用电荷密度和电位
来计算静电场能量，
但这并不表明静电能量只存在于
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工程电磁场
电荷的源区。在无源区域， 只要有电场，就存在对电荷的作用力， 说明凡是有电场的区域都存在静电场能量。 考虑导体表面和空间电荷分布的情况，
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工程电磁场
这部分增加的静电 能量称为互有静电能量。
设真空中有 n 个点电荷 q1 、 q2 、…、 qn
构成的静电系统，
当第一个点电荷 q1 从无限远处移至 r1 处时，
由于空间尚不存在 其他电荷，
故移动 q1 不须作功。
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工程电磁场
然后将点电荷 q2 移至 r2 处，
,
体积分,得
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工程电磁场
We
V
wedV
a
4R2
q2
2 42
dR 0R4
q2
q2
80R a 80a
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工程电磁场
3．点电荷系统的静电能量
点电荷相当于带电 导体球半径趋近于零。 单个点电荷产生电 场的静电能量为无穷大。
这就是将电荷量 q 压紧到体积为零的点上，
+ 1
2
S
D • endS
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工程电磁场
根据散度定理，可得
1 2
•
V
(D)dV
1 2
D
S
• dS
S 导体以外空间的闭合边界面，
在导体表面 dS 与 en 方向相反。
考虑到空间的外边界即无穷远边界面 S0 ，有
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工程电磁场
We
=
1 2
S
D
•
dS
+
1 2
V
D
•
EdV
1 2
S
D • endS
=
1 2
D • endS
S
S0
D • dS
1
1
+ 2
V
D • EdV 2 S D • endS
=
1 2
V
D
•
EdV
S0
D
•
dS
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工程电磁场
在无穷远边界的积分项中，
1 r
，D
1 r2
，S
r2
，
当 r 时，
有 D • dS 0 ，所以
S0
1
We
=
2
V
D•
EdV
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工程电磁场
在线性媒质中， D E ，则上式可写成
We
1 2
V
E
2
dV
；
1 D2
We
2
V
dV
从以上各式可以看出，电场能量分布于空间，
能量密度为
we
=
1 2
D•
E
1 E 2 2
1 2
D2
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工程电磁场
例 如图所示，求真空中半径为 a ，
A13
A23
q1q3 4 0 R13
q2q3 4 0 R23
由这样三个点电荷 构成的静电系统
在其建立过程克服 电场力的外力所做的功
转化为系统的互有 静电能量
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工程电磁场
We A12 A13 A23 q1q2 q1q3 q2q3 40R12 40R13 40R23
在有体电荷分布的空间区域有 • D ，
在无体电荷的空间区域 • D 0 ；
在导体表面 D • en 。代入静电场能量计算式，
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工程电磁场
将积分区域扩展到导体以外的整个空间， 可得
1
1
We 2 V • DdV + 2 S D • endS
V 是导体之外的整个空间，
克服电场力的外力 所做的功， 叫做点电荷的自有 静电能量。
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工程电磁场
由于同号电荷之间 的距离越小，
它们之间的排斥力 越大。
要把电荷之间的距 离压缩到零，
外力所做功必为无 穷大。
各个点电荷形成以 后，
将其放置在设定的 位置，形成点电荷系统。
在这个过程中克服 电场力的外力还要做功。
S 是所有导体的表面，
en 是导体表面外法线方向的单位矢量。
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工程电磁场
根据矢量恒等式 • ha h • a a • h ，
将 h , a D 代入，得
• D • D D •
将 E 代入上式，并代入能量计算式得
We
1 2
V
•
D dV
1 2
V
D
•
EdV
带电荷量为 q 的导体球Biblioteka 所产生的静电场的 静电能量。
解 根据电荷分布的球对称性，
对于 R a ，应用高斯通量定理,得
E
q 4 0 R 2
eR
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工程电磁场
（1）由导体球的电位
q ,可得 4 0a
1
q2
We
q 2
8 0a
（2）由静电能量密度
we
1 2
0
E
2
1 2
q2
42 0R4
d 和 d 时，
反抗电场力的外力所做的功应为
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工程电磁场
dA ddV ddS
V
S
整个过程中反抗电场力的
外力所做的功为
1
1
A 0 ddV 0 ddS
V
S
1
1
0 d dV 0 d dS
V
S
1 2
V
dV
1 2
S
dS
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工程电磁场 式中：V 为体电荷分布的空间，
克服 q1 和 q2 之间电场力的外力做的功为
A12
q1q2 4 0 R12
式中 R12 r2 r1 。
在此基础上，将点电荷 q3 移至 r3 处，
q3到 q1 和 q2 的距离分别为 R13 和 R23 ，
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工程电磁场
克服 q3 与 q1 和 q3 与 q2 之间电场力的
外力做功为