∂L ∂xµ
δxµ
+
∂δxµ ∂xµ
L(x)
=
d4x ∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+ ∂µ(Lδxµ)
=
d4x ∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
Lδxµ
(11)
因此
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
Lδxµ
=0
(12)
特别地，对于 global 的连续对称性变换，(1),(2) 可用 global 的无穷小 参数 改写为：
(29)
此外守恒荷也没有改变：
Pν ≡
d3x T 0ν = d3x (Θ0ν + ∂ρχρ0ν )
=
d3x (Θ0ν + ∂0χ00ν + ∂iχi0ν )
= d3x Θ0ν
(30)
其中 χ00ν 是由于反对称性为零，而 χi0ν 只要在无穷远处足够快地衰减， 由高斯定理可知它的面积分也为零。
这样引入的对称张量 T µν 称为能量动量张量。
− gµν
L
=
−F µρ∂ν Aρ +
1 4
gµν
FαβF αβ
(37)
显然第一项对于 µ, ν 不对称。考虑到规范对称性，需设法将 ∂νAρ 凑成场 强张量的形式：
− F µρ∂ν Aρ = −F µρ(∂ν Aρ − ∂ρAν ) − F µρ∂ρAν
=
−F
µρF
ν ρ
−
F
µρ∂ρAν
=
−F
µρF
Lδxµ
(15)
由于 的任意性，因此我们得到了流守恒方程即 Noether 定理：
0 = ∂µjµ ,
jµ
≡
∂
∂L (∂µφa)
δφa
+
Lδxµ
(16)
3
2 内部对称性
对于场 φa(x) 的内部对称性，有
δxµ = 0
(17)
因此这时 Noether 守恒流为
jµ
=
∂L ∂(∂µφa)
δφa
(18)
∂L ∂φa
−
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
=0
(9)
由变换(1)可得
d4x
=
det
∂(x µ) ∂ (xν )
d4x =
1
+ ∂δx0
∂δx∂1x+∂x...∂1∂δxx11
··· ··· ...
··· ··· · · · d4x
...
...
...
1
+
∂δx3 ∂x3
=
1
+
∂δxµ ∂xµ
F
µρF
ν ρ
(40)
这样引入的能量动量张量 T µν 即是是关于 µ, ν 对称而且规范不变的。
6
5 思考题
以下思考题可作为课外小论文，如果做得深入的话也可作为本科毕业论文 题目。请在教师指导下选做。
• 试求解在时空转动（即 Lorentz 变换）下的守恒流。
• 试求解 Dirac-Maxwell 理论的能量动量张量。
xµ → xµ = xµ + δxµ
(13)
φa(x) → φa(x) = φa(x) + δφa(x)
(14)
注意(13),(14)中 δxµ , δφa(x) 不再是无穷小量，只有 才是无穷小量。这 时(12)成为
0
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa + L
δxµ
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
ν ρ
−
∂ρ(F
µρ
Aν
)
(38)
最后一步应用了
Maxwell
方程(32)。显然
F
µρF
ν ρ
是关于
µ, ν
对称的，将
上式代入(37)，得
Θµν
=
1 4
gµν
FαβF αβ
−
F
µρ
F
ν ρ
− ∂ρ(F µρAν)
(39)
因此，可令
T µν
≡
Θµν
+ ∂ρ(F µρAν)
=
1 4
gµν
FαβF αβ
−
L = LDirac + Le.m. + Lint
=
ψ¯(iγµ∂µ
−
m)ψ
−
1 4
Fµν
F
µν
−
eAµψ¯γµψ
(41)
• 试求解 Higgs-Maxwell 理论的能量动量张量。 • 试求解 Einstein-Maxwell 理论的能量动量张量。 • 试求解 Yang-Mills 理论的能量动量张量。 • 试求解 Einstein-Yang-Mills 理论的能量动量张量。
xµ → xµ = xµ + δxµ
(1)
φa(x) → φa(x) = φa(x) + δφa(x)
(2)
是对称的，即作用量 S 保持不变：
S = d4xL(x) = d4x L (x )
(3)
其中拉氏量
L(x) ≡ L φa(x), ∂µφa(x)
(4)
1
记
δL(x) ≡ L (x) − L(x)
δφa
+
∂
∂L (∂µφa)
δ∂µφa
=
∂L ∂φa
δφa
+
∂
∂L (∂µφa)
∂µδφa
=
∂L ∂φa
δφa
+
∂µ
∂
∂L (∂µφa
)
δφa
− ∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
∂L ∂φa
−
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
(8)
这里我们应用了场的运动方程：
3 时空平移不变性与能量动量张量
考虑 global 的时空平移变换：
xµ → x µ = xµ − µ
(19)
若 φa(x) 在时空平移下不变，则有
φa(x) = φa(x ) = φa(x − )
(20)
因此
φa(x) = φa(x + ) = φa(x) + µ∂µφa(x)
(21)
由(19),(21)可得
Noether 定理与电磁场的能量动量张量
中山大学《电动力学》课程专题扩展讨论教案
张宏浩 （中大理工学院）
Contents
1 Noether 定理
1
2 内部对称性
4
3 时空平移不变性与能量动量张量
4
4 电磁场的能量动量张量
5
5 思考题
7
1 Noether 定理
我们以经典场 φa(x) 为例推导 Noether 定理。若体系对于以下无穷小连续 变换
d4x
(10)
2
其中我们最后一步只保留了 O(δx) 阶。 现在，由(3)得
0 = d4x L (x ) − d4xL(x)
=
d4x
1
+
∂δxµ ∂xµ
L (x ) −
d4xL(x)
=
d4x
L
(x
)
−
L(x)
+
∂δxµ ∂xµ
L
(x
)
=
d4x
∆L(x)
+
∂δxµ ∂xµ
L(x)
=
d4x
δL(x)
+
4 电磁场的能量动量张量
对于自由电磁场，拉氏量为
L
=
−
1 4
Fµν
F
µν
,
Fµν ≡ ∂µAν − ∂ν Aµ
(31)
Maxwell 方程可表示为：
∂µF µν = 0
(32)
5
若电磁势 Aµ(x) 在时空平移变换下保持不变：
Aµ(x) = Aµ(x ) = Aµ(x − )
(33)
则由(26)可得守恒流为
Θµν
=
∂L ∂(∂µAρ)
∂
ν
Aρ
− gµν
L
(34)
由
FαβF αβ = (∂αAβ − ∂βAα)(∂αAβ − ∂βAα)
= 2 (∂αAβ)(∂αAβ) − (∂αAβ)(∂βAα)
(35)
可得
∂(FαβF αβ) ∂(∂µAρ)
=
4F µρ
(36)
因此
Θµν
=
∂
∂L (∂µAρ
)
∂ν
Aρ
∂ν
φa
− gµν
L
(26)
一般情况下， Θµν 不是对称张量。为了得到对称的张量 T µν = T νµ ，可以 对 Θµν 添加一个4-散度：
T µν = Θµν + ∂ρχρµν
(27)
其中 χρµν 是对前两个指标反对称的任意张量：
χρµν = −χµρν
(28)
这使得流守恒方程保持不变：
∂µT µν = ∂µΘµν + ∂µ∂ρχρµν = ∂µΘµν = 0
(5)
∆L(x) ≡ L (x ) − L(x)
(6)
则
∆L(x) = L (x ) − L(x)
= L (x ) − L (x) + L (x) − L(x)