⎜⎜⎝⎛ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
>>
I
⎤ ⎥ ⎦
( ) − ε0
∂ ∂t
GG E×B
真空：H
=
1
G B,
μ0
GG D = ε0E
G
G
ρ = ∇ ⋅ D = ε0∇ ⋅ E
G J
=
∇
×
G H
−
G ∂D
∂t
=
1 μ0
∇×
G B
−ε0
G ∂E ∂t
G
∇ ⋅ DG = ρ,
∇ ∇
⋅B =0 G
kG(eG3 )
另一方面：
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB +
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
BG(eG2 )
( ) G >>
E⋅T
=
−ε 0
GG E⋅E
G E+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
G E
⋅
>>
Ι
G E
(eG1
)
kG(eG3 )
∂ ∂x
Ex2
+
E
2 y
+
Ez2
G ex
=
⎡ ⎢Ex ⎣
∂Ex ∂x
+
Ey
∂Ex ∂y
+
Ez
∂Ex ∂z
−
Ex
∂Ex ∂x
−
Ey
∂Ey ∂x
−
Ez
∂Ez ∂x
⎤G ⎥ex ⎦
=
⎡ ⎢E ⎣
y
⎜⎜⎝⎛
∂Ex ∂y
−
∂Ey ∂x
⎟⎟⎠⎞ +
Ez
⎜⎛ ⎝
∂Ex ∂z
−
∂Ez ∂x
⎟⎞⎥⎤eG ⎠⎦
x
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G
① 对于平面电磁波，电场、磁 场和波矢相互正交；
② 可以用这三个相互正交的方 向来分解动量流密度张量。
G B
=
1 c
G ek
×
G E
BG(eG2 )
G E
(eG1
)
kG(eG3 )
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB
+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
∑ >>
Τ=
f = ε0
G ∇⋅E
G E+
G ∇×E
G ×E
+
1
μ0
GG
GG
∇⋅B B+ ∇×B ×B
−
ε0
∂ ∂t
GG E×B
(∇
⋅
G E
)EG
+
(∇
×
G E
)×
G E
( ) ( ) =
G E⋅∇
G E+
G ∇⋅E
G E
−
1
∇E
2
∇E 2
=
∂E 2 ∂x
G ex
+
∂E 2 ∂y
G ey
+
∂E 2 ∂z
G ez
+
d dt
∫VwdV
2、电磁场的动量和动量守恒定律
① 电磁场不仅具有能量，也具有动量； ② 动量守恒定律也是一个基本的物理定律。 ③ 电磁场的动量以及其动量守恒定律的数学
形式如何？
1）牛顿第二定律
电磁场作用在体系上的机械作用力——等于 电荷系统的动量在单位时间内的变化率。
G F
=
G dG
dt
∫V
G fdV
∇×E
G ×E
x
=
⎢⎡⎜⎛ ⎣⎝
∂Ex ∂z
−
∂Ez ∂x
⎟⎞ ⎠
Ez
−
⎜⎜⎝⎛
∂Ey ∂x
−
∂Ex ∂y
⎟⎟⎠⎞E
y
⎤G ⎥ex ⎦
( ) 等式有右边的
x
分量：⎢⎣⎡
G E
⋅∇
G E
−
1 2
∇E 2
⎤ ⎥⎦ x
( ) = ⎜⎜⎝⎛ Ex
∂ ∂x
+
Ey
∂ ∂y
+
Ez
∂ ∂z
⎟⎟⎠⎞Ex
G e
x
−
1 2
g dV = − T ⋅ dS
V
dt V
S
G
① ∫V f dV V内电荷系统（机械）总动量的变化率：
+ ②
d dt
∫V
G g
dV
V内电磁场总动量的变化率；
>> G
=
③ − ∫ST ⋅ dS 单位时间内流进 V内的动量流；
6）例题：空心同轴传输线的内、外导线 载有电流 ±I，两导线间的电压为 U 。
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
——为电磁场的动量流密度张量
G f
+
∂gG
=
>>
−∇ ⋅ T
∂t
——电磁场的动量守恒定律
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB
+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
动量流密度张量：
① 物理涵义是表示电磁场通过单位面积上的应 力流；
② 具体来讲，Tij是沿着 i 轴方向、作用在面法 向沿着 j 轴方向的 、单位时间穿过此单位面 积上的应力流；
∂t
GG ε0E × B
=
−∇
⋅
⎡ ⎢− ⎣
⎜⎜⎝⎛
ε0
GG EE
+
1 μ0
GG BB
⎟⎟⎠⎞
+
1 2
>>
Ι
⎜⎜⎝⎛ ε 0
E
2
+
1 μ0
B2 ⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
4）定义：
G g
=
G ε0E
×
G B
——为电磁场的动量密度；
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB
+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
+1 μ0
G ∇×B
G ×B
∇⋅B =0 G
∇×E =
−
G ∂B
∂t
−ε0
G ∂E ∂t
×
G B
−
ε
0
G E
×
G ∂B ∂t
( ) =
−ε 0
∂ ∂t
GG E×B
∇×
G E
+
G ∂B
=
0
∂t
( )G
∇×E
G ×E
+
G ∂B
×
G E
=0
( )G
∇×E
G ×E−
∂t G E×
G ∂B
=
0
∂t
[ ( ) ( ) ] G
2
( ) = ∇⋅
GG EE
− 1 ∇E2
2
( ) = ∇⋅
GG EE
−
1
∇
⋅
⎜⎛
>>
Ι
E
2
⎟⎞
2⎝ ⎠
>>
⎜⎛ E 2
I E2 = ⎜ 0
⎜ ⎝
0
0 E2 0
0
⎟⎞⎜⎛
GG eG1eG1
GG eG2eG1
GG eG3eG1 ⎟⎞
0 E2
⎟⎜ ⎟⎠⎜⎝
eG1eG2 e1e3
eG2eG2 e2e3
eG3eG2 e3e3
=
d dt
∫V
G gdV
G g
——电荷系统的动量密度；
G f
——作用在电荷系统的力密度。
2）带电体系所受力密度——洛仑兹力 G G GG f = ρE + J × B
——单位体积的电荷系统动量的变化率。
3）洛仑兹力可表示成如下的对称形式
G f
=
⎡ GG ∇ ⋅ ⎢ε 0EE
⎣
+
1 μ0
GG BB
−
1 2
T=⎜ 0 ⎜⎝ T31
0 T32
0 T33
⎟⎜ ⎟⎠⎜⎝
eG1eG2 e1e3
eG2eG2 e2e3
eG3eG2 e3e3
⎟ ⎟⎠
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB
+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
BG(eG2 )
G E
(eG1
)
kG(eG3 )
( ) ( ) G >>
⎟ ⎟⎠
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