第 6 课数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。

会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。

掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3. 掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

内容分析1．二次根式的有关概念(1)二次根式式子 a (a 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．( a) 20);a(aa 2 | a | a(a 0),2 ．二次根式的性质a(a 0);ab a b ( a 0;b 0);a a(a 0;b 0).b b3．二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．(2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即a b ab (a 0,b 0).二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去 ( 或分子、分母约分 ) ．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1. 考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2. 考查最简二次根式、同类二次根式概念。

有关习题经常出现在选择题中。

3. 考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

考查题型1．下列命题中，假命题是（ ）（ A ）9 的算术平方根是 3 （ B ） 16的平方根是± 2（ C ） 27 的立方根是± 3（ D ）立方根等于－ 1 的实数是－ 135 x2．在二次根式 45， 2x ， 11，4， 4中，最简二次根式个数是（ ）（ A ）1 个 （ B ）2 个 （ C ）3 个 （D ）4 个（ 2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（）1112 （ A ）3 6， 3 2 （ B ） 3 5， 15 （ C ） 2 12，3 （ D ） 8，3a+ abab － b3， b ＝2－ 33. 化简并求值，＋，其中 a ＝ 2＋ab+b a － ab4． 2＋ 1 的倒数与2－ 3的相反数的和列式为，计算结果为145．（－ 4） 2 的算术平方根是， 27 的立方根是，9的算术平方根是 ， 49的平方根是.81考点训练：1．如果 x 2＝ a ，已知 x 求 a 的运算叫做，其中 a 叫做 x 的 ；已知 a 求 x 的运算叫做，其中 x 叫做 a 的。

2． ( － 2 ) 2 的平方根是 ， 9 的算术平方根是， 是－ 64 的立方根。

3．当 a<0 时，化简∣ a ∣＋ a 2＋ 3 a 3 ＝。

4．若 5.062 =2.249 ， 50.62 =7.114 ， x =0.2249 ，则 x 等于（）（ A ） 5.062 （ B ） 0.5062 （ C ） 0.005062 （ D ） 0.05062 5．设 x 是实数，则 (2x ＋3)(2x －5) ＋ 16 的算术平方根是（ ）（ A ） 2x － 1（ B ） 1－2x（ C ）∣ 2x － 1∣（ D ）∣ 2x ＋ 1∣6． x 为实数，当 x 取何值时，下列各根式才有意义：21（ 1） － 3x －2 （）（ 2） x ＋ 5 （）（ 3）x 2 （）（ 4）1（）(5)1（）（ 6） x ＋ － x （）1 － x ＋ 231－ x7．等式3－ x＝3－ x成立的条件是（） x ＋ 2 x ＋ 2（ A ）－ 2<x ≤ 3（ B ）－ 2≤ x ≤3（ C ）x>－ 2（ D ） x ≤ 38．计算及化简：（ 1） ( － 7（4）2a 23b2 ) 2732b 4 － b4 （ b>1）a a（2） ab 2(c ＋ 1) 2（ 3）0.01 × 640.36 × 324xx 2y － 6xy 2＋9y 3（ 5） x － 3y x（ x>3y ）（ 6） ( 48 － 6 0.5 )(4 3 ＋ 18 ) － (2 3 － 3 2 ) 2（ 7）已知方程 4ｘ 2－ 2ａｘ＋ 2ａ－ 3＝ 0 无实数根，化简 4ａ 2－ 12ａ＋ 9 ＋｜ａ－ 6｜ 解题指导1．下列命题： （ 1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（ 3）算术平方根一定是正数（ 4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）（ A ） 1（ B ） 2（C ） 3（ D ） 42．已知30.5 =0.794 ，3 5 =1.710 ， 3 50 =3.684 ，则 35000 等于（）（ A ） 7.94 （ B ） 17.10 （C ） 36.84 （ D ） 79.43．当 1<x<2 时，化简∣ 1－ x ∣＋4－ 4x ＋ x 2 的结果是（）（ A ）－ 1 （B ） 2x － 1 （ C ） 1 （ D ） 3－ 2x4． (x － 2) 2 ＋ ( 2－ x ) 2 的值一定是（ ）（ A ） 0（ B ） 4－ 2x（ C ）2x － 4（ D ） 45．比较大小：1 1（ 1） 35 14 （ 2） 7 － 2 22 － 1 （ 3） 35 － 3434 － 33aa 2b － 4ab 2＋ 4b 36．化简： a － 2ba（ 2b>a ）7．计算：（ 32 ＋ 0.5 － 211 1 753 ）－（ 8－5）8．已知 a ＝ 3－ 2 ， b ＝3＋ 2，求 a 2－ 5ab ＋ b 2的值。

3＋ 23－ 213 269．计算： 945 ÷ 35 × 22310．化简： 3 2－ 2 3 11. 设 5+12125-1 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ ＋ 2 ａｂ＋ｂ 的值。

独立训练1． 2 － 3 的倒数是； 2 － 3 的绝对值是。

2． 8 的有理化因式是 ， x － y 的有理化因式是。

1 与 1 的关系是。

3． x － 1＋ xx － x － 14．三角形三边 a ＝ 7 50 ， b ＝4 72 ， c ＝ 2 98 ，则周长是 。

5．直接写出答案：（ 1） 3 · 2 ÷ 30 ＝ 4xy 8 8。

，（ 2）= ，（ 3）( 3 －2) ( 3 ＋ 2) = 2x 6．如果 a － b的相反数与 a ＋b 互为倒数，那么（）（ A ） a 、 b 中必有一个为 0 （ B ）∣ a ∣＝∣ b ∣（ C ） a ＝ b ＋1 （ D ） b ＝a ＋ 17．如果 (2 － x) 2 ＋ (x － 3) 2 ＝（ x － 2）＋（ 3－ x ），那么 x 的取值范围是（ ）（ A ） x ≥ 3（ B ） x ≤ 2 （ C ） x>3（ D ） 2≤ x ≤ 38．把（ a － b ）1－a －b 化成最简二次根式，正确的结果是（）（ A ） b － a（ B ） a － b（ C ）－ b － a（ D ）－ a － b139．化简－ 3x x － x ＋ 4x 的结果必为（ ）（ A ）正数 （ B ）负数 （ C ）零 （ D ）不能确定 10．计算及化简：812 1（ 1）（527 · 13 · 3 54 ）（ 2） 18 ＋ 2－ 1 － 4 2 － 2( 2 ＋1)3xx23 1xy xx aa 2－ ab（ 3）（ 2 y － 5xy +3 2 ）÷ 2y（ 4） a － ba 3－ 2a 2b+ab 2 （ a>b ）ｘ＋ 3 1 x-3 511. 已知 ｘ＋ 2 ＝ 3+ 2+1 , 求2x － 4 ÷ ( x － 2 －的值 x － 2) 。

12. 先化简 , 再求值 :(ｘ＋ 2 xy +y +1)+ ｘ - y+1x ＋ y x -xy其中 x=2 -3 ,y=2 +3213. 设 11－ 6 2 的整数部分为 m ，小数部分为 n ，求代数式 m ＋n ＋ n 的值。

14. 试求函数ｔ＝ 2－ － 3ｘ 2＋ 12ｘ－ 9 的最大值和最小值。

15. 如果ａ＋ｂ＋｜ｃ－ 1 － 1｜＝ 4 ａ－ 2 ＋ 2 ｂ＋ 1 － 4，那么ａ＋ 2ｂ－ 3ｃ的值。