曲线上一点处的切线
响水县第二中学 授课人：陈强 时间：2016.11.19
教学目标
1、知识技能目标：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率概念及求法．
2、过程方法目标：掌握“局部以直代曲”和“用割线逼近切线”的思想方法．
3、情感态度价值观目标：培养学生从实际问题中去发现问题、解决问题(数学思想)的能力. 教学重点
理解曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。

教学难点
对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解以及会求在某点处的切线斜率．
教学过程
一、情境导入
1.函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为2121
()()f x f x x x --． 即：曲线上两点的连线（割线）的斜率（平均变化率）近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势.
2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）
从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．
（1）观察“点P 附近的曲线”你看到了怎样的现象？ （2）“几乎成了一条直线”，有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”近） 二、建构数学
1．割线逼近切线
动画演示，观察点Q 的运动，直线PQ 线PQ 斜率的变化，生成概念．
Q 为曲线上不同于点P 的一点，这时， 直线PQ 称为曲线的割线；
随着点Q 沿曲线向点P 运动， 割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线，
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最 终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，
这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线．
2．割线斜率逼近切线斜率
切线的概念提供了求切线斜率的方法．
再提中心问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？我又用怎样数学模型来刻画曲线上P 点处的变化趋势呢？ 为了更好地反映点Q 沿曲线向点P 运动，我们选择了一个变量x ∆．
不妨设(())P x f x ，，(())Q x x f x x +∆+∆，，则割线PQ 的斜率为
()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x
+∆-+∆-==+∆-∆，当点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率
就会无限逼近点P 处切线斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x
+∆-∆无限趋近点(())P x f x ，处切线斜率．
三、例题展示：
例1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率．
变式1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程
变式2：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．
例2：一跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的，假设()t s 后
运动员相对于水面的高度为
2() 4.9 6.510H t t t =-++，试确定2t s =时运动员的速度。

练习：练习：已知f(x)=
x ,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率是什么？
四、课堂小结
1、曲线上一点P 处的切线是过点P 的所有直线中最接近P 点附近曲线的直线，则P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。

(局部以直代曲)
2、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。

Q 无限逼近P 时
割线
点处的切线
Q 无限逼近P 时
割线PQ 的斜率点处的切线斜率
令横坐标无限接近
Q 无限逼近P 时
函数在区间点处的瞬时变化率（导数） (或[xQ,xP]）上的平均变化率 即区间长度趋向于0
五、课后作业：
1、求曲线12)(2++=x x x f 在点（1,4）处的切线方程。

2、求曲线5221)(2
+-=x x x f 在x=1处的切线的倾斜角。

3、
x x y +=2
在点P 处的切线斜率为3，求点P 坐标。