江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高一上学期10月学情调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ） A ．2,220x x x ∀∈++>R B ．2,220x R x x ∀∈++≤ C ．2,220x x x ∃∈++>RD ．2,220x x x ∃∈++≥R2．已知集合{}16,A x x x N =<<∈，{}1,2,3B =-，那么A B =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,3D ．{}2,3,43．函数268y x x =++的零点是（ ） A ．2，4B ．－2，－4C ．(2,0),(4,0)--D ．(2,0),(4,0)4．若0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ）A <B ．2a ab >C ．11a b< D ．22a b <5．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 的值为（ ） A ．1-或32-B ．1-C ．32-D ．16．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于A ．6B ．C．3+D ．4+7．设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的（ ）条件. A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．充分必要条件8．已知方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间()1,0-内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．04a <<B ．12a <<C ．22a -<<D ．3a <-或1a >二、多选题9．下列命题正确的有（ ） A ．A ⋃∅=∅ B ．()()()U U U C A B C A C B ⋃=⋃ C ．A B B A ⋂=⋂D ．()U U C C A A =10．“关于x 的不等式220x ax a -+> 对x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a <<B ．01a ≤≤C ．102a <<D ．0a ≥11．有下面四个不等式，其中恒成立的有（ ） A ．2a b ab +B ．a （1﹣a ）14C ．a 2+b 2+c 2≥ab +bc +caD ．b a a b+≥2 12．若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集” C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈三、填空题13．若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____. 14．若命题“x R ∃∈，220x x a -+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______. 15．对于任意两集合,A B ，定义{|A B x x A -=∈且},()()x B A B A B B A ∉*=--，记{|0},{|33}A y y B x x =≥=-≤≤，则A B *=__________． 16．已知正数,x y 满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是_______.四、解答题17．已知集合{}35A x x =-≤≤，1,21Bm m .（1）当3m =时，用列举法表示出集合()A B Z ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.18．已知集合{}22430,A x x ax a a R =-+≤∈，2460,02x B x x x x ⎧⎫+=-++≥<⎨⎬-⎩⎭. （1）求集合B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，在①0a >、②0a <这二个条件中任选一个，补充在下面问题中，当a 满足______，求p ⌝是q ⌝的必要不充分条件时的实数a 的取值范围.19．（1）已知,x y R ∈，且x y >，比较33x y -与22xy x y -的大小；（2）已知,,x y z 为正实数，且1xyz =，证明：()()()8x y y z z x +++≥. 20．已知不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >. （1）求a 、b 的值；（2）解不等式()20ax ac b x bc -++<.21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用(04)x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(),a b ，(),c d 作如下定义：a cb d>，那么称点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，同时点(),c d 是点(),a b 的“下位点”. （1）试写出点()3,5的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设a 、b 、c 、d 均为正数，且点(),a b 是点(),c d 的上位点，请判断点(),P a c b d ++是否既是点(),a b 的“下位点”又是点(),c d 的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；（3）设正整数n 满足以下条件：对任意实数{}02020,m t t t Z ∈<<∈，总存在*k N ∈，使得点(),n k 既是点()2020,m 的“下位点”，又是点()2021,1m +的“上位点”，求正整数n 的最小值.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}16,2,3,4,5A x x x N =<<∈=，{}1,2,3B =-，因此，{}2,3A B ⋂=.故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】直接解方程2680x x ++=，即可得到答案. 【详解】由题知：令0y =，即2680x x ++=，解得12x =-，24x =-， 所以函数268y x x =++的零点是2-，4-. 故选：B 【点睛】本题主要考查求函数的零点，属于简单题.4．B 【解析】 【分析】根据不等式的性质分别对四个选项分析可得解. 【详解】对于A ，由0a b <<，得0a b ->->>A 项错误；对于B ，由0a b <<两边同时乘以a ，得2a ab >，故B 项正确； 对于C ，由0a b <<，得11a b>，故C 项错误； 对于D ，由0a b <<，得22a b >，故D 项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】根据3A -∈，分别考虑223,253a a a -=-+=-，注意借助集合元素的互异性进行分析. 【详解】当23a -=-时，1a =-，此时{}3,3,12A =--，不满足集合中元素的互异性， 当2253a a +=-时，32a =-或1-（舍），此时7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，满足条件， 综上可知：a 的值为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据元素与集合的属于关系求解参数值，难度较易.根据元素与集合的关系求解参数时，注意集合中元素的互异性. 6．C 【解析】【分析】 【详解】()212333y x x y x y x y⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭ ,故选C. 7．D 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件的定义即可得到答案. 【详解】因为r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件， 所以r 是s 的充分条件，即r s ⇒成立.又因为t 是s 的必要条件，所以r 是t 的充分条件，即r t ⇒， 因为t 是r 的充分条件，t r ⇒，所以t r ⇔，即r 是t 的充要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件和充要条件，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 8．B 【解析】设22()24f x x ax a =-+-，利用一元二次方程的根的分布得：(1)0(0)0(2)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪<⎩，2222304040a a a a a ⎧+->⎪-<⎨⎪-<⎩，解得：312204a a a a ⎧-⎪-<<⎨⎪<<⎩或，12a <<.选B. 9．CD 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【详解】对A ，因为A A ⋃∅=，故A 错误；对B ，因为()()()U U U C A B C A C B ⋃=⋂，故B 错误； 对C ，A B B A ⋂=⋂，故C 正确； 对D ，()U U C C A A =，故D 正确． 故选：CD ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的交、并、补运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 10．BD 【解析】 【分析】先根据关于x 的不等式220x ax a -+> 对x ∈R 恒成立,则2440a a ∆=-<，求得充要条件，再利用定义结合集合的关系判断. 【详解】关于x 的不等式220x ax a -+> 对x ∈R 恒成立,则2440a a ∆=-<，解得：01a <<. A 选项“01a <<”是“关于x 的不等式220x ax a -+> 对x ∈R 恒成立”的充要条件； B 选项“01a ≤≤” 是“关于x 的不等式220x ax a -+> 对x ∈R 恒成立”的必要不充分条件；C 选项“102a <<”是“关于x 的不等式220x ax a -+> 对x ∈R 恒成立”的充分不必要条件；D 选项“0a ≥”是“关于x 的不等式220x ax a -+> 对x ∈R 恒成立”必要不充分条件. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件和充要条件的定义以及集合法的应用，属于基础题. 11．BC 【解析】 【分析】A.根据基本不等式的成立条件判断；B.由二次函数的性质判断；C.利用基本不等式及不等式的基本性质判断；D.根据基本不等式的使用条件判断. 【详解】A.当0,0a b <<时，2a b ab +不成立，故错误；B. a （1﹣a ）22111244a a a ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，故正确； C. 2222222,2,2a b ab a c a cc b cb +≥+≥+≥，两边同时相加得 a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，故正确D.当,a b 异号时，不成立，故错误； 故选：BC 【点睛】本题主要考查基本不等式成立条件和应用以及不等式的基本性质，属于基础题. 12．BCD 【解析】 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当yA 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若yA ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确；对于D 选项，任取x 、yA ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈；当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，yA 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x ∈，从而1y y A x x=⋅∈，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 13．3a < 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果. 【详解】因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件， ∴3a <． 故答案为：3a <． 【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．[)1,+∞ 【解析】 【分析】首先根据题意得到x R ∀∈，220x x a -+≥恒成立，从而得到440a -≤，即可得到答案. 【详解】因为“x R ∃∈，220x x a -+<”是假命题， 所以x R ∀∈，220x x a -+≥恒成立. 所以440a -≤，解得1a ≥. 故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题主要考查根据特称命题的真假求参数，同时考查二次不等式R 上恒成立问题，属于简单题. 15．[3,0)(3,)-+∞【解析】A B -={|3}x x > ，B A -{|30}x x =-≤< ，所以*A B =[3,0)(3,)-+∞16．2 【解析】 【分析】 首先设1a x y =+，19b y x=+，则0a >，0b >，10a b +=，利用基本不等式得到16ab ≥，从而得到()1016a a -≥，再解不等式即可得到答案. 【详解】 设1a x y =+，19b y x=+，则0a >，0b >，10a b +=.则1119=1091016ab x y xy y x xy ⎛⎫⎛⎫=++++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当19xy xy=时取等号. 所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤， 所以1x y+的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 17．（1）3,2,1,0,1,2,3,4,5A B Z；（2）(],3-∞.【解析】 【分析】（1）本题可根据3m =得出集合4,5B，然后根据并集和交集的相关性质即可得出结果；（2）本题可分为集合B 是空集、集合B 不是空集两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】（1）当3m =时，4,5B，因为{}35A x x =-≤≤， 所以3,5A B ，3,2,1,0,1,2,3,4,5A B Z .（2）因为AB B =，{}35A x x =-≤≤，1,21Bm m ，所以当集合B 是空集时，121m m +≥-，解得2m ≤；当集合B 不是空集时，有12113215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤，综上所述，3m ≤，实数m 的取值范围为(],3-∞. 【点睛】本题考查集合的表示方法以及集合的相关运算，考查并集和交集的相关性质，考查根据交集结果求参数范围，考查计算能力，考查分类讨论思想，是中档题. 18．（1）{}22B x x =-≤<；（2）选择①：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，选择②：2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）本题可分别求解不等式260x x -++≥以及402x x +<-，然后取交集，即可求出集合B ； （2）本题可先求出集合A 并根据命题:p x A ∈写出命题p ⌝，然后根据集合B 以及命题:q x B ∈写出集合q ⌝，最后根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件即可得出结果.【详解】（1）260x x -++≥，即260x x --≤，()()320x x -+≤，解得23x -≤≤，402x x +<-，即420x x ，解得42x -<<，因为2460,02x B x x x x ⎧⎫+=-++≥<⎨⎬-⎩⎭，所以集合{}22B x x =-≤<. （2）选择①：22430x ax a -+≤，即30x ax a ，因为0a >，所以不等式22430x ax a -+≤的解集为[],3x a a ∈， 因为命题:p x A ∈，集合[]{},3,A x x a a a R =∈∈， 所以命题{:p x x a ⌝<或}3x a >，因为命题:q x B ∈，集合{}22B x x =-≤<， 所以命题{:2q x x ⌝<-或}2x ≥， 因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以232a a ≥-⎧⎨<⎩，解得023a <<，实数a 的取值范围为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.选择②：22430x ax a -+≤，即30x ax a ，因为0a <，所以不等式22430x ax a -+≤的解集为3,x a a ，因为命题:p x A ∈，集合[]{}3,,A x x a a a R =∈∈， 所以命题{:3p x x a ⌝<或}x a >，因为命题:q x B ∈，集合{}22B x x =-≤<， 所以命题{:2q x x ⌝<-或}2x ≥， 因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， 所以322a a ≥-⎧⎨<⎩，解得203a -≤<，实数a 的取值范围为2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查命题的否定、必要不充分条件的性质以及一元二次不等式的解法，考查根据必要不充分条件求参数，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.19．（1）3322xy x y x y >--；（2）证明见解析【解析】 【分析】 （1）根据()()()()232230x yx x y y x y x y --=+->-，即可得到答案.（2）首先根据基本不等式得到x y +≥y z +≥，x z +≥，再利用不等式的性质即可证明()()()8x y y z z x +++≥. 【详解】（1）()()23333222x y xy x y xyx yx y +=-----()()()()()()()222222x y x x y xy xy y x x y x y x y y x y =++--=+--+=+-.因为x y >，所以()()20x x y y -+>，所以3322xy x y x y >--. （2）,,x y z 为正实数，1xyz =，所以x y +≥y z +≥，x z +≥， 当且仅当1x y z ===时取等号.所以()()()88x y y z z x xyz +++≥==. 【点睛】本题第一问考查作差法比较大小，第二问考查利用基本不等式证明不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.20．（1）1a =，2b =；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）本题可根据题意得出当1x =或x b =时2320ax x -+=，然后代入1x =求出a 的值，最后通过因式分解即可求出b 的值；（2）本题首先可根据（1）得出不等式为()2220x c x c -++<，即()()20x x c --<，然后分为2c =、2>c 、2c <三种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >， 所以当1x =或x b =时，2320ax x -+=， 当1x =时，320a -+=，解得1a =，则2320x x -+=，即()()210x x --=，解得2x =或1x =， 故2b =.（2）因为1a =，2b =，所以()20ax ac b x bc -++<即()2220x c x c -++<，即()()20x x c --<，当2c =时，即()220x -<，不等式的解集为∅； 当2>c 时，不等式的解集为2,c ； 当2c <时，不等式的解集为(),2c . 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，主要考查根据一元二次不等式的解集求参数以及解含参数的一元二次不等式，考查分类讨论思想，是中档题. 21．（1）1656([0,4])1y x x x =--∈+；（2）3万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， 8162(816)816my m m x m x m+∴=⋅⨯-++=+- 181631x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭16561x x =--+([0,4])x ∈；（2）由16165657(1)574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大. 【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及用基本不等式求最值，属综合基础题.22．（1）一个“上位点”的坐标为()3,4，一个“下位点”的坐标为()3,6（答案不唯一，符合题意即可）；（2）是，证明见解析；（3）4041. 【解析】 【分析】（1）由上位点、下位点的概念即可得解；（2）由上位点、下位点的概念结合作差法即可得证；（3）结合（2）中结论，可得21k m =+，4041n =，再证明当4040n ≤时不合题意即可得解. 【详解】（1）由题意点()3,5的一个“上位点”的坐标为()3,4，一个“下位点”的坐标为()3,6； （2）是，证明如下：点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，a cb d∴>，ad bc ∴>， ()()()()0b a c a b d a c a bc adb d b b b d b b d +-++--==<+++， ∴a c ab d b+<+，点(),P a c b d ++是点(),a b 的“下位点”， ()()()()0d a c c b d a c c ad bcb d d d b d d b d +-++--==>+++， ∴a c cb d d+>+点(),P a c b d ++是点(),c d 的“上位点”； ∴点(),P a c b d ++既是点(),a b 的“下位点”又是点(),c d 的“上位点”；（3）若正整数n 满足条件：202120201n m k m<<+在{}02020,m t t t Z ∈<<∈时恒成立， 由（2）中的结论可知，21k m =+，202120204041n =+=时满足条件， 若4040n ≤，由于存在()()()()202140422021201920211121121n mn n m mm m m m m m +----=≤<++++++的情况， 则20212020121n m m m <<++不恒成立， 因此，n 的最小值为4041.【点睛】本题考查了新定义的应用及利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键是对题中新定义的理解，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题.。