江苏省新海高级中学2020-2021学年度第一学期期末模拟考试高三数学学科试卷本试题卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题1.设集合}4≤2{<=x x A ，集合}2-8≥7-3{x x x B =，则集合A B ⋃=（ A ） A ．[2,)+∞ B ．)3,2[ C ． )43[， D ．)∞,3[+2.已知复数满足(12)34z i i -=+ (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ C ） A ．1B ．iC ．2D ．i 23.某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（C ）A. 参与奖总费用最高B. 三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C. 购买奖品的费用的平均数为4.6元D. 购买奖品的费用的中位数为5元4.在ABC ∆中，“B A >”是“B A sin sin >”的 ( A ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线122=-ay x 的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则a 值为（ C ） A ．2 B ．3C ．4D ．4±6.函数xxx f x 2cos 3)(•=的部分图象大致是（ D ）A B C DA B C D7.已知函数13)(2---=x x x f ，exex2e g(x )x +=，实数m ，n 满足0m n <<，若z i z1[x m ∀∈，]n ，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则n m -的最大值为( A )A ．1B ．3C ．32D ．58.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（ C ）（取1.211＝7.5，1.212＝9） A ．25000元B ．26000元C ．32000元D ．36000元二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差d ≠0，则( B C )A ．若,84S S >则012>SB ．若,84S S =则6S 是n S 中最大的项C ．若,54S S >则65S S >D ．若,54S S >则43S S >10.某港口一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，0≤t ≤24）的变化近似满足关系式)356sin(3)(ππ+=t t S ，则下列说法正确的有（ AD ） A ．()S t 在[0，2]上的平均变化率为433m /h B ．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h C ．当t ＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D ．4时潮水起落的速度为6πm /h 11.如图直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，112BC CD AB ===，E 为AB 中点.以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且3PC = ABD ）A.平面PED ⊥平面PCDB.PC BD ⊥C.二面角P DC B --的大小为3πD.PC 与平面PED 所成角的正切值为2212.如图，过点)0,1(P 作两条直线1=x 和)0(1:>+=m my x l 分别交抛物线x y 42=于B A ,和D C ,(其中C A ,位于x 轴上方)，直线BD AC ,交于点Q .则下列说法正确的（ ABC ） A ．,C D 两点的纵坐标之积为4- B ．点Q 在定直线1-=x 上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PO 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有CQP BQP ∠=∠三、填空题:本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上。

13．8)14(xax -的展开式中x 2的系数为70，则a ＝___ ±41_____．14. 在平面直角坐标系中，P 是曲线)0(9>+=x xx y 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 6 .15. 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，DC ＝2，∠BAD ＝6π,若23AD AB AC 55=+，且角B ＝6π，则AC=___7_____. 解：因为23AD AB AC 55=+，又CD ＝4，则CB ＝10，BD ＝6，又∠BAD ＝∠B ＝6π，故AD ＝BD ＝6，且∠ADC ＝3π在△ACD 中，由余弦定理：AC 2＝AD 2＋CD 2﹣2AD·CDcos ∠ADC ＝28，故AC ＝7.16. 在三棱锥ABC P -中，.,8,24,4BC AB AC BC PB PA ⊥====平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为___4______.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分） 已知向量13(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求θcos 的值； （2）若+=a b b ，求)6sin(πθ+的值．xOy解：(1) 因为//a b，所以12sin 2cos 22θθ-⋅=⋅，即sin θθ-=，所以tan θ= 又0πθ<<，所以2π3θ=． 21cos -=θ …………4分 (2)因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得220+⋅=a a b ，又1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a，cos θθ⋅=-a b ，1cos 2θθ=--，则π1sin()064θ-=-<，又0πθ<<，πcos()6θ-=，所以 3sin 6cos 3cos 6sin 36sin )6sin(ππθππθππθπθ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+8153-=……………10分18.（本题满分10分）在①121n n S S +=+，②21114,2n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足13b =，且1b ，3-2b ，7b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn n b c a =，求数列{}n c 的前项和n T .18.解：选择①②：（1）解：由121n n S S +=+⇒当2n 时，有121n n S S -=+，两式相减得：12n n a a +=，即112n n a a +=，2n ．又当1n =时，有2112212()S S a a =+=+，又214a =，112a ∴=，2112aa =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以1()2n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列，2137(2)b b b ∴-=，即2(322)3(36)d d +-=+，解得：4d =或12d =-（舍)，34(1)41n b n n ∴=+-=-，故1()2n n a =，41n b n =-．选择：②③：（1）解：由112n n S a +=-⇒当2n 时，112n n S a -=-，两式相减得：122n n n a a a +=-+，即112n n a a +=，2n ．又当1n =时，有12112S a a =-=，又214a =，112a ∴=，2112aa =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以1()2n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列，2137(2)b b b ∴-=，即2(322)3(36)d d +-=+，解得：4d =或12d =-（舍)，34(1)41n b n n ∴=+-=-，故1()2n n a =，41n b n =-．（2））c n ＝(4n -1)×2n所以T n ＝3×21＋7×22＋11×23＋…＋(4n -1)×2n ， 则2T n ＝3×22＋7×23＋…＋(4n －5)×2n ＋(4n -1)×2n+1， 两式相减得－T n ＝6＋4(22＋22＋…＋2n )－(4n -1)×2n+1＝6+4×14)12n --（1-2－(4n -1)×2n+11102(54)n n +=-+-，1102(45)n n T n +∴=+-19．（本题满分12分）为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：(1)根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；(2)若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布),(2σμN ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值2,σx 近似为样本方差.2s 经计算得92.62=s ，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01)．附：参考数据与公式63.292.6≈，若),(~2σμN X ，则 ①;6827.0)(=+≤<-σμσμX P ②;9545.0)22(=+≤<-σμσμX P ③.9973.0)33(=+≤<-σμσμX P19．解：(1)X 12 14 16 18 20 22 24p0.04 0.12 0.28 0.36 0.10 0.06 0.044.172404.02206.02010.01836.01628.01412.01204.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==EX x ………………………………………………………………………………………………（6分）(2)77.1463.240.17=-=-σμ8414.026827.016827.0)(=-+=-≥∴σμx p 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则8414.0)(=∴A p ，1586.0)(=A p因此100只小鼠首先注射疫苗后有848414.0100≈⋅只产生抗体，有100-84=16只没有产生抗体.故注射疫苗后产生抗体的概率94.01001084=+=P ………………………（12分）20.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ∠平面ABCD ，CF ∠AE ， AB ＝AE ＝4.(1)求证：BD ∠平面ACFE ； (2)当直线FO 与平面BED 所成的角为4π时， 求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．20.(1)因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .因为AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥AE .因为AC ∩AE ＝A ，所以BD ⊥平面ACFE .(2)以O 为原点，OA →，OB →的方向为x ，y 轴正方向，过O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B (0，23，0)，D (0，－23，0)，E (2,0,4)，F (－2,0，a )(a >0)，OF →＝(－2,0，a )．设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝0，n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(－2,0,1)，由题意FO 与平面BED 所成的正弦值为22，22∴＝|cos 〈OF →，n 〉|＝|OF →·n ||OF →||n |＝5442⋅++a a .因为a >0，所以解得a ＝6.所以OF →＝(－2,0,6)，BE →＝(2，－23，4)，所以cos 〈OF →，BE →〉＝OF →·BE →|OF →|·|BE →|＝.453240244=+- 故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为.4521.已知椭圆的离心率为22，右顶点、上顶点分别为A B 、，原点O 到直线AB 的距离为ab 66． （1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上两不同点,线段的中点为. ①当的坐标为(1,1)时，求直线的直线方程； ②当三角形面积等于2时，求的取值范围. 解：（1）12422=+y x .............2分 （2）①032=-+y x .............5分②1.若直线PQ 垂直于x 轴，则22)22(2||2||21222=⇒=-⇒=⨯p p p p p x x x y x 0,22==⇒M M y x 所以2||=OM2. 若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：)0(≠+=m m kx y ),(),,(2211y x Q y x P0424)21(12422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y xmkx y 所以0,2142,2142221221>∆+-=⋅+-=+k m x x k km x x ................8分 因此221284||||11||212222122=+-+=-+⋅+⋅=∆km k m x x k k m S OPQ 2222222222210])21[()21()42(m k m k k m k m =+⇒=-+⇒+=-+⇒()2222:10x y C a b a b +=>>C ,P Q C PQ M M PQ OPQ ||OM而m k k km x x x M 22122221-=+-=+=，mm kx y MM 1=+=， 所以22222121214||m m m m k OM -=-=+= 因为2221m k =+所以12≥m 所以2||1<≤OM综合1和2可知]2,1[||∈OM ............12分 22. 已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-.（1）若函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当21<≤a 时，证明：函数)()2()(x f x x g -=有且仅有3个零点.22解：（1）x a e x f x cos )(+-=' ),0(,cos +∞∈∀+≤∴x x e a x),0(,cos )(+∞∈+=x x e x h x 令，.2,2)0()(.),0()(,0sin )(≤∴=>∴+∞∴>-='a h x h x h x e x h x 为增函数在（2）易知0,2==x x 是)()2()(x f x x g -=的两个零点.因为21<≤a ，由（1）知，函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，0)0()(=>f x f ，无零点. 所以下证函数)(x f 在)0,(-∞上有且仅有1个零点.①当(]π-∞-∈,x 时，.01sin )(,,21>-++≥∴≥-∴<≤x e x f ax a xππ 无零点.②当()0,π-∈x 时，）上递增，在（,0-)(0)(,0sin πx f x f x '∴>''∴<,01)(,02)0(<--=-'>-='-a e f a f ππ 又 .0)(),0,(00='-∈∴x f x 使得存在唯一零点π当()0,x x π-∈时，,0)(<'x f 在)(x f ()上递减；0,x π- 当()0,0x x ∈时，,0)(>'x f 在)(x f ().0,0上递增x 所以，函数)(x f 在)0,(π-上有且仅有1个零点.故函数)(x f 在)0,(-∞上有且仅有1个零点.综上：当21<≤a 时，函数)()2()(x f x x g -=有且仅有3个零点.。