Mk ENk EENk Nk 1 ．
30
现在，
ENk Nk 1 Nk 1 1 1 pENk ，
其中上式是得自若取 Nk 1 次试验得到 k 1 次相继的 成功，则或者下一次是成功，我们就会接着得到第 k 次成功，或者下一次是失败，我们必须重新开始．
42
p 1 p E 1 2 N N 2 1 1 p E 2N N 2


1 21 pEN 1 pE N 2 ．
1 由前面的例题可知， E N ，这就推导出方程 p 21 p E N 1 1 p E N 2 ． p
由于首次成功的次数 N1 是参数为 p 的几何随 机变量，我们看到
1 M 1 E N1 ． p
33
并且，递推地有
1 1 M2 2 ， p p 1 1 1 M3 2 3 ． p p p
因此，一般地有
1 1 1 M k 2 k ． p p p
34
例8
由它导出
N E Xi N N E X1 i 1
因此，
N N E X i E E X N i i 1 i 1
EN E X1 E N E X1 ．
（3.5）
12
然而
EN Y 1 1，
EN Y 0 1 EN ．
（3.6）
为了明白为什么式 （3.6） 是正确的， 我们考察 EN Y 1 ， 由于 Y 1 ， 我们知道第一次抛掷结果是正面，所以，需要抛掷的次数的期望是
1 ．另一方面，如果 Y 0 ，第一次抛掷结果是反面．然而，由于假
i 0
n
1 E Rn PYn 0 PYn i E Rn i
i 1 n
n
1 E Rn PYn 0 n i PYn i （由归纳假设）
i 1
1 ERn PYn 0 n1 PYn 0 EYn ERn PYn 0 n1 PYn 0
8
所以，在上面的例子中，在一周中受伤人 数的期望值为
E X i E N E X1 4 2 8 ． i 1
N
9
例 3（几何分布的期望） 连续抛 掷一枚出现正面的概率为 p 的硬币直 至出现正面为止．问需要抛掷的次数的 期望多少？
10
解： 以 N 记需要抛掷的次数，而令
E N Y 0 E N 1 ．
2 2
41



因此，我们看到
E N2 E E N2 Y


2
E N 2 Y 1 PY 1 E N 2 Y 0 PY 0


p 1 p E 1 N



ERn EERn Yn
PYn i E Rn Yn i ．
n i 0
25
现在，给定最初一轮的全部匹配数 i ，需 要的轮数将等于 1 加上余下的 n i 个人 匹配他们的帽子需要的匹配轮数．
26
所以，
E Rn PYn i 1 E Rn i
1 第 i 个人取到自己的帽子 ， i 1, 2, , N ， Xi 0 其它情形
则有 X X i ．
i 1 N
20
现在，因为第 i 个人等可能地在 N 个帽子中取一个， 这就推出
1 P X i 1 P第 i 个人取到自己的帽子 ， N
随之，
31
对上式两端取期望，得
Mk EENk Nk 1
ENk 1 1 1 pENk ENk 1 1 1 pENk M k 1 1 1 p M k 1 ．
32
或者
1 M k 1 ． Mk p p
E X i 1 P X i 1 0 P X i 0
1 ， N
i 1,
2, N E X E X i i 1
E X i
i 1 N N
1 i 1 N
1．
6
但是
N n E Xi N n E Xi N n i 1 i 1
n E X i i 1
nE X1 ，
（由 N 与 X i 相互独立） （由随机变量序列 X i 独立同分布）
7
23
解： ⑴ 由上例推出，不论留在那里的人有多少，平均每轮有一 次匹配．这就使人想到
ERn n ．
这个结果是正确的，现在给出一个归纳性证明． 由 于 显 然 有 E R1 1 ， 假 定 对 于 k 1, , n 1 ， 有
ERk k ．
24
为了计算 ERn ， 我们先对第一轮中的匹配 数 Yn 取条件．它给出
1 如果读者选取数学书 ， Y 2 如果读者选取历史书
3
则由全期望公式，得
E X EE X Y PY 1EX Y 1 PY 2EX Y 2
1 1 7 2 5 ． 2 2 2
4
例2 （随机变量的随机数量和的期望） 假定一工 厂设备每周出现事故次数的期望为 4． 又假定在每次 事故中受伤工人数是具有相同均值 2 的独立随机变 量．再假定在每次事故中受伤工人数与每周发生的 事故数目相互独立．每周受伤人数的期望是多少？
定相继的抛掷是独立的， 这就推出在第一次出现反面直到正面首次 出现时的附加抛掷次数的期望是 E N ．
13
因此，
EN Y 1 1．
将式（3.6）代入方程（3.5） ，推出
EN p 1 p 1 EN ，
解方程，得
1 E N ． p
是正面 1 如果第一次抛掷的结果 ． Y 是反面 0 如果第一次抛掷的结果
11
现在
EN EEN Y PY 1 EN Y 1 PY 0 EN Y 0 p EN Y 1 1 p EN Y 0 ．
n 1 1 E X X 1 0 E X X 1 1 ． n n
37
但是，由例.14， E X 1．此外，给定第一个人有 一个匹配时，匹配数的期望等于 1 加上当 n 1 个人在 他们自己的 n 1 个帽子中选取的匹配数的期望数，显 示出
EX X1 1 2 ，
14
例4
某矿工身陷有三个门的矿井之中．经第 1
个门的通道行进 2 小时后，他将到达安全地；经第 2 个门的通道前进 3 小时后，他将回到矿井原地； 经第 3 个门的通道前进 5 小时后， 他又将回到矿井 原地．假定这个矿工每次都等可能地任意一个门， 问直到他到达安全地所需时间的期望是多少？
15
解： 令 X 记矿工到达安全地所需的时间，以 Y 记他 最初选取的门．现在

E X EE X Y
PY i E X Y i
3 i 1 3
1 E X Y i ， i 1 3
16
然而
EX Y 1 2 ， EX Y 2 3 E X ， EX Y 3 5 E X ． （3.7）
2 2

2
下面我们计算 E N 2 ，对 Y 取条件，得
E N E E N Y ．
2

然而，
E N Y 1 1，
2


E N Y 0 E N 1 ，
2 2
40



上面两个方程都是正确的，因为如果首次试验的结果是 成功，那么显然 N 1 ，从而 N 2 1 ．另一方面，如果首 次试验的结果是失败，那么得到第一次成功所需的试验 总次数等于 1 （首次试验是失败）加上进行额外试验所 需的试验次数．由于后面的量与 N 同分布，我们得到
17
因此，
1 E X 2 3 E X 5 E X ， 3
解方程，得
E X 10 ．
18
例 5 在一次聚会上，N 个人将自己戴的 帽子扔到屋子中央．将这些帽子充分混合 后， 每人随机选取一顶． 求取到自己的帽子 的人数的期望数．
19
解： 以 X 记取到自己的帽子的人数．再设
在例 6 的有 n n 1 个人的匹
配问题中，求给定第一个人没有匹配 时的匹配数的条件期望．
35
解： 以 X 记匹配数．而令 X 1 等于1 ，如果 第一个人有一个匹配，而在其他情形下 令它等于 0 ．
36
那么，
EX EX X1 0 PX1 0 EX X1 1 PX1 1
27
其中最后一个等式用了上例中建立的结果
E Yn 1 ．由前面的方程推出 ERn n ．
28
例7
连续地做每次成功的概率为 p 的
独立试验，直至有 k 次相继的成功．所需 试验的次数的均值是多少？
29
解： 以 N k 记为了得到 k 次相继的成功必须试验的次数， 并记 M k ENk ． 通过对 k 1 次相继的成功所必须试验的次数 Nk 1 取条件，我们将得到 M k 的一个递推方程．由此推出
为了理解为什么这是正确的，我们以 EX Y 2 为例，给出其如下推理．如 果矿工选取第 2 个门，那么 3 小时后他将回到他的矿井．但是，一旦他回到 矿井，问题就和以前一样了，而直到他到达安全地的附加时间的期望正是
E X ．因此，
EX Y 2 3 E X ．
在方程（3.7）中其它等式后面的推理是相似的．