y
FY|X ( y | x)
f (x,v)dv


fX (x)
y f (x,v) dv f X (x)
(X，Y )为二维连续型随机向量
条件概率密度的 计算公式
在 Y = y 的条件下 X 的条件概率密度
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)
条件数学期望的 性质
（1）当 X 、Y 相互独立时， E ( Y | X ) = E ( Y )
（2）E ( c | X ) = c （c为常数）
（3）E ( g ( X ) | X ) = g ( X ) （4）E ( a Y + b Z | X ) = a E ( Y | X ) + b E ( Z | X )
X
Y
1 2 34
2
p2 0 0 0
3
p2 (1-p) p2 (1p) 2 p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 0
•••
•••
•••
•••
•••
••• ••• ••• •••
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布函数的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布函数

-



y[ f X (x) fY|X ( y | x)dx]dy y[ f (x, y)dx]dy yfY ( y)dy E(Y )
-
-

条件数学期望的 性质
（6）E ( g ( X ) Y | X ) = g ( X ) E ( Y | X ) （7）E [Y - E ( Y | X )]2 ≤E [Y – g ( X )]2
f (x, y) f X (x) fY|X ( y | x) f (x, y) fY ( y) f X|Y (x | y)
（4）连续型随机变量X、Y 相互独立的充要条件
fY|X ( y | x) fY ( y) f X |Y (x | y) f X (x)
(X，Y )为二维连续型随机向量
lim P{X x | y Y y ε}
ε0
存在，则称此极限为在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数， 记为
FX|Y (x | y) P{X x | Y y} lim P{X x | y Y y ε}
ε0
(X，Y )为二维连续型随机向量
条件数学期望的 性质
( 5 ) 全数学期望公式 E { E ( Y | X ) } = E ( Y )

( X ,Y )连续：E(Y | x) yfY|X ( y | x)dy
-
全数学期望公式的证明：假设(X，Y )为二维连续型随机向量，得


E{E(Y | X )} E(Y | x) f X (x)dx {[ yfY|X ( y | x)dy] f X (x)}dx
E(Y|X=i) = (i -1)a .1/n+(i -2)a .1/n + … + a .1/n
+a .1/n+ 2a .1/n + … + (n- i ) a .1/n
X 1 2… n P 1/n 1/n … 1/n
= a [2 i 2 - 2(n+1) i + n (n+1)]/2n
n
E ( Y ) = E { E ( Y | X ) } E(Y | X i)P{X i}
f
X
|Y
(
x
|
y)


2(1 x) (1 y)2
0
y x1 其他
1
y=x
y G
0
1
(X，Y )为一般二维随机向量
条件分布函数的 定义
FX|Y (x | y) P{X x | Y y} lim P{X x | y Y y ε}
ε0
FY|X ( y | x) P{Y y | X x}
(X，Y )为一般二维随机向量
重要结论
如果 X，Y 相互独立，则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y )。
证明
如果 X，Y 相互独立，则 F (x, y )= FX (x) FY ( y ), 进而，
FY |X
(y|
x)

lim
ε0
F(x ε, y) F(x ε, ) -
P{ X = xi | Y = yj } （ i = 1, 2, … ） 称为在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律。
在事件{ X = xi }已发生的条件下，事件{Y = yj }发生的 条件概率
P{ Y = yj | X = xi } （ j = 1, 2, … ） 称为在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律。
条件分布函数的 计算公式
设 f ( x，y ) 是二维连续型随机向量(X，Y )的联合概率密度， 若对于固定的 y ， fY ( y ) > 0，则
x
FX|Y (x | y)
f (u, y)du


fY ( y)
x f (u, y) du fY ( y)
若对于固定的 x ， f X ( x ) > 0，则
F(x, y) F(x, )
lim FX (x ε)FY ( y) - FX (x)FY ( y) ε0 FX ( x ε)FY () - FX ( x)FY ()

lim
ε0
FX FX
(x ε) - FX (x ε) - FX
(x) (x)
FY ( y)
FY ( y)
§1-2 条件分布与条件数学期望
一．条件分布 二．条件数学期望
一．条 件 分 布
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布律的 定义
设 pij = P{ X = xi , Y = yj }（ i, j = 1, 2, … ）是二维离散 型随机向量(X，Y )的联合分布律， 则在事件 {Y = yj } 已 发生的条件下，事件 {X = xi } 发生的条件概率
i
j
i
j
i
P{X x ,Y y } P{Y y }P{X x |Y y }
i
j
j
i
j
（4）离散型随机变量X、Y 相互独立的充要条件
P{Y y j | X xi} P{Y y j}
P{X xi | Y y j} P{X xi}
(X，Y )为二维离散型随机向量
P{Y y | X
xi}

yjy
pi•
ij y j y i•
(X，Y )为二维连续型随机向量
条件分布函数的 定义
设 F ( x, y ) 是二维随机向量 (X，Y )的联合分布函数。
给定 y ，设对于任意固定的正数 ，P{ y Y < y + } > 0，
且若对于任意实数 x ，极限
i 1
n a[2i2-2(n 1)i n(n 1)] / 2n 1 a (n2 1)
i 1
n 3n
例题4
设二维连续型随机变 量( X , Y ) 的联合概率密 度函数为
f
(x,
y)


24(10
x)
y
0 y x1 其它
求 E ( X | y ) ，0 < y < 1．
例题2
设二维连续型随机变量 ( X , Y) 的联合概率密度函数 为，
f
(x,
y)


24(10
x)
y
0 y x1 其它
求 fX\Y ( x | y ) ，0 < y < 1．
fX|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)

fY ( y) f (x, y)dx
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布律的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律
P{X xi | Y y j} P{X xi ,Y y j} pij （i 1,2, ）
P{Y y j}
p• j
在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律
条件分布函数
lim P{Y y | x X x ε} ε0
的 计算公式
F ( x, y ε)-F ( x, y)
FX |Y
(x
|
y)

lim
ε0
F (,
y

ε)-F (,
y)
FY |X
(y
|
x)

lim
ε0
F(x ε, y) F(x ε, )
-
F(x, y) F(x, )
例题 1
P{ X = m , Y = n } （m < n ） = P{ 共射击 n 次，其中第 m , n 次击中目标，
其余 n-2 次不击中目标 }
= p2 (1-p) n-2
一战士进行射击，击中目 标的概率为 p（0 < p <1），射 击到击中目标两次为止，设 X 以表示首次击中目标所进行的 射击次数，以Y 表示总共进行 的射击次数，试求 X 和Y 的联 合分布律及条件分布律。
二．条 件 数 学 期 望
条件数学期望 的
定义

如果 R-S 积分 xdFX|Y (x | y) 绝对收敛，
-