高中苏教数学④2.1～2.2综合测试题
一、选择题
1．已知A ={}与共线的向量a ，B ={}与长度相等的向量a ，
C ={}与长度相等，方向相反的向量a ，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
Ａ．C A Ü Ｂ．A B C = Ｃ．C B Ü
Ｄ．A B C Ý
答案：Ｂ
2．化简以下各式： ①AB BC CA ++ ；②AB AC BD CD -+- ；③OA OD AD -+ ；④NQ QP MN MP ++-
．其结果为0的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
答案：Ｄ
3．若13AB = e ，15CD =- e ，AD BC =
，1≠0e ，则四边形ABCD 是（ ）
Ａ．平行四边形 Ｂ．菱形 Ｃ．等腰梯形 Ｄ．直角梯形
答案：Ｃ 4．设12，e e 是不共线向量，若向量1235=+a e e 与向量123m =-b e e 共线，则m 的值等于（ ）
Ａ．95-
Ｂ．53-
Ｃ．35-
Ｄ．59
-
答案：Ａ
5．若点M 是ABC △的重心，则下列向量中与AB
共线的是（ ）
Ａ．AB BC AC ++
Ｂ．AM MB BC ++ Ｃ．AM BM CM ++
Ｄ．
3AM AC +
答案：Ｃ
二、填空题
6．已知数轴上三点A B C ，，，其中点A B ，的坐标分别为36-，，且2CB = ，则AB =
，
点C 的坐标为 ．
答案： 9；4或8
7．在ABC △中，M 是BC 边靠近B 点的三等分点，若AB AC == ，a b ，则AM =
．
答案：2133
+a b
8．ABC △是边长为1的正三角形，点O 是平面上任意一点，则2OA OB OC +-=
．
三、解答题
9．O 是ABC △内一点，OA OB OC ++=0
，试证O 为ABC △的重心．
证明：如图，延长AO 到E ， 使OE AO =，交BC 于F ， 则OE OA =- ．
而由OA OB OC ++=0
， 有OB OC OA +=- ， OB OC OE += ∴，
∴四边形OBEC 为平行四边形．
OE ∴平分BC ，即AO 所在的直线为ABC △的边BC 上的中线． 同理可证，CO BO ，所在的直线分别为AB AC ，边上的中线． O ∴为ABC △的重心．
10．已知12122323=-=+，a e e b e e ，其中12，e e 不共线，向量1229=-c e e ，问是否存在这样的实数λμ，，使λμ=+d a b 与c 共线．
解：假设存在满足条件的λμ，，
则λμ=+d a b 121212(23)(23)(22)(33)λμλμμλ=-++=++-e e e e e e ． ∵d 与c 共线，则存在实数k ，使k =d c ．
即1212(22)(33)29k k λμμλ++-=-e e e e ． 222339k k λμμλ+=⎧⎨
-=-⎩
，
．∴解得2λμ=-． ∴存在实数λμ，，满足2λμ=-时，d 与c 共线．
11．如图1，在ABC △中，13AM AB =，1
4
AN AC =，
BN 与CM 交于点P ，且AB AC == ，a b ，用，a b 表示AP
．
解：如图1，由
13AM AB =，1
4
AN AC =， 有1133AM AB == a ，11
44
AN AC == b ．
M P C ，，∵三点共线， 设()MP tMC t AC AM ==- ， 1113333t AP AM MP t t ⎛
⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ a b a a b ．
同理：由N P B ，，三点共线，可设NP sNB =
， 144s AP s ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
∴·b a ．
133144
t s s t ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．∴解得311211s t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．
∴32
1111
AP =+ a b ．
12．如图2所示，已知ABC △的两边AB AC ，的中点分别为M N ，，在BN 的延长线上取点
P ，使NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使MQ CM =．试证明：P A Q ，，三点共线．
证明：如图2
2AP AB BP AB BN =+=+
1222AB BC CA AB BC CA AB BC BC CA BC ⎛⎫=++=++=+++= ⎪⎝⎭
．
同理可得，1222AQ AC CQ AC CM AC CB BA CB ⎛⎫=+=+=++= ⎪⎝⎭
．
AP AQ =- ∴．
AP ∴与AQ
平行且有公共点A ． A P Q ，，∴三点共线．。