平面向量 综合测试题
（时间：120分钟 满分：150分）
学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 向量a ，b ，c ，实数λ,下列命题中真命题是( )
A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若λ a ＝0，则λ＝0或a ＝0
C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b
D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
3. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )
A.PA →＋PB →＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.PA →＋PB →＋PC →＝0
4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n
＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－12 D.12 5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152
C ．－322
D ．－3152
7. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )
A ．[0，π6
] B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π6
，π] 8. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值范围为( )
A ．[1,2]
B ．[2,4]
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 9. 下列命题中正确的个数是( )
①若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 的方向相同；
②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ；
③a ·a ·a ＝|a |3；
④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线；
⑤若平面内有四点A ，B ，C ，D ，则必有AC →
＋BD →＝BC →＋AD →. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，且a ⊥b ，则x 2＋y 2的最小值为( )
A.13
B.23
C.12 D ．1
11．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )
A ．2 B. 2 C ．1 D.22
12．设a ,b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb
D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 ）
13．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2，则|b |等于________．
14．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λ a ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
16．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →
＝0r ，
(1)用OA →、OB →表示OC →
；
(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．
18．（10分）设a ，b 是不共线的两个非零向量．
(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线．
(2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．
19．（10分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
20．（10分）已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，
求点D 的坐标与|AD →
|．
21．（10分）已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求
(1)a 与b 的夹角θ；
(2)(a －2b )·b .
22.（10分）已知a ＝( 3，－1)，b ＝12⎛ ⎝⎭，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－
3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t
的最小值．。