第二章5）激发态的原子从能级E2跃迁到E1时，释放出m μλ8.0=的光子，试求这两个能级间的能量差。

若能级E1和E2上的原子数分别为N1和N2，试计算室温（T=300K ）时的N2/N1值。

【参考例2-1，例2-2】 解：（1）J hcE E E 206834121098.310510310626.6---⨯=⨯⨯⨯⨯==-=∆λ （2）52320121075.63001038.11098.3exp ---∆-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-==T k Eb e N N10）激光在0.2m 长的增益物质中往复运动过程中，其强度增加饿了30%。

试求该物质的小信号增益系数0G .假设激光在往复运动中没有损耗。

104.0*)(0)(0m 656.03.1,3.13.014.02*2.0z 0000---=∴===+=====G e e I I me I I G z G ZzG Z ααα即且解：第三章2．CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为r 1=0.985，r 2=0.8。

求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、τc 、Q 、∆νc (设n=1) 解：衍射损耗:1880107501106102262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ-- s ..c L c 881075110318801-⨯=⨯⨯=δ=τ输出损耗:1190809850502121.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δ s ..c L c 881078210311901-⨯=⨯⨯=δ=τ4.分别按图(a)、(b)中的往返顺序，推导旁轴光线往返一周的光学变换矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ，并证明这两种情况下的)(21D A +相等。

（a ） （b ）解： 1234T T T T T =(a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=D C B A LR L R T 1011201101120121221R L A -= 124421212+--=R L R L R R L D244421212+--=+R LR L R R L D A(b) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=D C B A LR L R T 1011201101120112121R L A -= 124412212+--=R L R L R R L D244421212+--=+R LR L R R L D A L ④③ ② ① L④③ ②①8．腔长为0.5m 的氩离子激光器，发射中心频率0ν＝5.85⨯l014Hz ，荧光线宽ν∆＝6⨯l08 Hz ，问可能存在几个纵模？相应的q 值为多少？ (设η=1)解：纵模间隔为:Hz L cq 881035.0121032⨯=⨯⨯⨯==∆ην， 210310688=⨯⨯=∆∆=q n νν，则可能存在的纵模数有3个，它们对应的q 值分别为： 68141095.11031085.522⨯=⨯⨯=⨯=⇒=νμμνc L q L qc ，q ＋1=1950001，q －1＝194999918．欲设计一对称光学谐振腔，波长λ＝10.6μm ，两反射镜间距L ＝2m ，如选择凹面镜曲率半径R =L ，试求镜面上光斑尺寸。

若保持L 不变，选择L R >>，并使镜面上的光斑尺寸s w ＝0.3cm ，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？解：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：mm L s s 5977.22106.10621=⨯⨯===-ππλωω（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是L R R R >>==21，根据（3-160）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L 近似相等的解R=1.204m ）：()()mR R R L R L R L L R L R L L R R L s 911.53])22(2[5977.2])2([)2(412412412≈⇒=-⨯⨯=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πλπλω（3）()()()()mm f w m L R L R L R L R L f 735.2911.4106.10216.24)2911.52(2222602=⨯⨯===-⨯⨯=----=-ππλ第四章5）某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。

今用F =2cm 的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m 、1m 、10cm 、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。

解：入射高斯光束的共焦参数设入射高斯光束的q 参数为1q ，像高斯光束的q 参数为2q ，根据ABCD 法则可知12111q q F-= 其中 1q l if =+ l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；2q l if ''=-+l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。

2200f f πωπωλλ''== 121Fq q F q =- 利用以上关系可得 l 10m 1m 10cm 0 l '2.00cm 2.08cm 2.01cm 2.00cm 0ω'2.40μm22.5μm55.3μm56.2μm从上面的结果可以看出，由于f 远大于F ，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。

200.427mf πωλ==6）2CO 激光器输出波长λ=10.6μm,，0ω=3mm,用一个焦距为F=2cm 的凹透镜聚焦，求欲得到m 5.2m 200μμω及’=时透镜应放在什么位置？ 方法1：处，透镜应放在束腰右侧时，处透镜应放在束腰右侧时，舍或得，根据已知解：共焦参数，m 87.23m 87.235.2'w 39.1,39.120'w )(f '-f 'f )('w m10*0.267.2f 002202202202202200220====--+=+-====-L m m m L m W F W F W F W F l F l Fw F mw μμλπ方法2：解：入射高斯光束的共焦参数设入射高斯光束的q 参数为1q ，像高斯光束的q 参数为2q ，根据ABCD 法则可知12111q q F-= 其中 1q l if =+ l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；2q l if ''=-+l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。

2200f f πωπωλλ''== 121Fq q F q =- 利用以上关系可得 020μm ω'=时， 1.39m l =，即将透镜放在距束腰1.39m 处；0 2.5μm ω'=时，23.87m l =，即将透镜放在距束腰23.87m 处。

20 2.67mf πωλ==8）如图4-19所示光学系统，入射光λ=10.6μm,求30l 及”ω方法1：mF L F w w cm f F l F F l F l F mw f cml l l m F w w F l cm l μλπμπλ06.14f )(/'''12.8)()(m05.010*499.1'13'49.22'cm 2'2f 22120022222223242012001111=+-==+--+=====-===∴==∴==-已知对于第二透镜，由由解：经过第一个透镜，方法2：解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置 由于11l F =，所以11l F '==2cm 所以对第二个透镜，有213cm l l l '=-=已知20.05m F =，根据12111q q F-= 其中 1q l if =+ l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；2q l if ''=-+l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。

2200f f πωπωλλ''== cml 152=3l cml 21=mm30=ωcmF 21=cmF 52='ω''0ω0022.49μm F λωπω'==240 1.49910mf πωλ-'==⨯得38.12cml=，014.06μmω''=15）看图4-13，图4-1418）两支He-He激光器的结构及相对位置如图4-24所示。

问在什么位置插入一个焦距为多大的透镜能够实现两个腔之间的模匹配？方法1：解：由图中数据可知左右两谐振腔都是稳定腔。

设左右谐振腔产生的高斯光束共焦参数分别为和，由式（3-157）可得分别求左腔平面镜处以及右腔平面镜处的高斯光束q参数q2和。

设两腔间插入焦距为F的薄透镜，若该透镜与左腔平面镜的距离为，则距离右腔平面镜为在薄透镜左侧表面，高斯光束的q参数（2.97）在薄透镜右侧表面，高斯光束的q参数（2.98）因为薄透镜两侧表面上的光斑半径相同，因而Im|1/|=Im|1/|将=0.75m-代入，求得=0.39m或=2.9m（不符合要求，此解略去）左右两侧球面波的透镜变换规则为（2.97）式中R为薄透镜左侧的高斯光束波面曲率半径，为薄透镜右侧的高斯光束波面曲率半径（2.100）利用式（2.97）、式（2.98）、式（2.99）及式（2.100）可得所以，在左腔平面镜右侧0.39m处共轴放置一焦距为0.34m的薄透镜，可实现两个腔之间的模匹配。

方法2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='-''='='-='-='⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=-=cm25)(0cm 25cm 8.45)(0cm 30157-31121`1121L R L f Z L Z L R L f Z L Z ，同理可得）得解：由（ 75cm 25500=+=l0925.28.4525258.450000=+='+'='+'=ff ffw w w w A cm f f f 83.33258.450=⨯='=cm A l l f A A F 3440925.27527583.33)40925.2(0925.242)4(22222020202=-⨯-+⨯-⨯=--+-=cm f F f f F f F w w F l 5.43483.3334258.4534222022020±=-⨯±=-'±=-'±= cm f F f f F f F w w F l 45.23483.33348.452534222022020±=-⨯±=-'±=-'±='第五章2）发光原子以0.2c 的速度沿某光波传播方向运动，并与该光波发生共振，若此光波波长λ=0.5μm ，求此发光原子的静止中心频率。