a
b
c
AEBiblioteka PMBCD
特殊集散点-n个集散点构成正多边形
A
F
P'
B
P
E
C
D
E
A
D
s
s'
H
B
C
一般的费马点问题
已知平面上n个点Pi(xi,yi) （i=1,2,…,n），各点 Pi的“权重”为Wi，试确定一点P(x,y)，使它到 已知n个点的加权距离最小 ？
数学模型
n
min C(x, y) min Wi
• 2.若三角形有一内角大于等于120°，则此 钝角的顶点就是距离和最小的点。
• 4费马点的证明 • 三角形费马点 • 如右图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，
得到△ABP。 • 以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到
△EBD • ∵旋转60°，且BD=BP， • ∴△DBP 为一个等边三角形 • ∴PB=PD • 因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC • 由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小 • 若E、D、P共线时， • ∵等边△DBP • ∴∠EDB=120° • 同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120° • ∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点
• 三角形最大角
D
• 1、小于1200
• 2、不小于1200
B
A B1
S1 S
B
A Q
P
费马点如何画？
C
A C'
距离之和的最小值如何求？
H B
C
B' C
A'
一般费马点问题
F
有A,B,C三个村庄，各村庄的小 学生人数分别为a,b,c，把学校建 在什么地方，才能使所有学生所 走的路程总和最短？
sin BPC sin CPA sin APB
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
——运输优化问题
• 有一条笔直的河流，
仓库A到河岸所在直线
A
MN的距离是10千米，
AC⊥MN 于 C ， 码 头 B
MC
D
BN
到C为30千米，现有一
批货物，要从A运到B。
A1
已知货物走陆路单位
A
里程的运价是水路的2
倍，那么如何选择路
M CD D
BN
费马点
王佳阳 七（三）
作者介绍
• 法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的 一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一 点，使该点到三角形三个顶点距离之和最 小．人们称这个点为“费马点”．这是一个 历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍． 本文试以课本上的习题、例题为素材，根据 初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一 则思维训练材料，引导学生通过自己的思维 和学习，初步了解这个问题的产生、形成、 推理和论证过程及应用．
• 四边形费马点
• 平面四边形中费马点证明相对于三角形中 较为简易，也较容易研究。
• （1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对 角线AC、BD交点P。
• （2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶 点D（P）。
• 平面四边形费马点证明图形
• 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点 的找法：当三角形有一个内角大于或等于120° 的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个 内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费 马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的 点。另一种更为简捷的证明 ：设O为三顶点连线 最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作 一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子 到C的反射点（如果不是，反射点为O',就会有 BO’+ CO' < BO+ CO，而AO’= AO，就会有 AO’+ BO’+ CO' < AO + BO + CO）。
• 不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。 因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是 120°
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/2
• 1四个点构成凸四边形； • 2四个点构成凹四边形； • 3四个点中三点共线
A
A
O' C
D
O
A
B
A
O
D
D O
O B
C
B
D
C
B
C
D
O
A
B
C
三角形费马点
• 定义
• 1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条 距离连线正好三等分费马点所在的周角， 即该点所对三角形三边的张角相等，均为 120°。所以三角形的费马点也称为三角形 的等角中心。
• （托里拆利的解法中对这个点的描述是： 对于每一个角都小于120°的三角形ABC的 每一条边为底边，向外作正三角形，然后 作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指 出这三个外接圆会有一个共同的交点，而 这个交点就是所要求的点。这个点和当时 已知的三角形特殊点都不一样。这个点因 此也叫做托里拆利点。）
线，使总运价最少？
E E
F
代数函数模型
y 2 100 x2 (30 x)
u 2 100 x2 x
ADC
y 2 10 (30 10tg) [10(2 cos )],
s in
s in
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/2