上海市中考数学模拟试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．两个相似三角形的面积比为1∶4，那么这两个三角形的周长比为（ ） （A ）1∶2； （B ）1∶4；（C ）1∶8；（D ）1∶16．2．如果向量a 与单位向量e方向相反，且长度为12，那么向量a 用单位向量e表示为（ ） （A ）12a e = ； （B ）2a e =；（C ）12a e =- ； （D ）2a e =-．3．将抛物线2y x =向右平移1个单位，所得新抛物线的函数解析式是（ ） （A ）2(1)y x =+； （B ）2(1)y x =-； （C ）21y x =+； （D ）21y x =-．4．在Rt △ABC 中，∠A =90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B 的正切值（ ） （A ）扩大2倍； （B ）缩小2倍； （C ）扩大4倍； （D ）大小不变 ． 5．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =a ，BC =m ，那么AB 的长为（ ） （A ）sin m α；（B ）cos m α； （C ）sin mα； （D ）cos mα． 6．在平面直角坐标系中，抛物线()221y x =--+的顶点是点P ，对称轴与x 轴相交于点Q ，以点P 为圆心，PQ 长为半径画⊙P ，那么下列判断正确的是（ ） （A ）x 轴与⊙P 相离； （B ）x 轴与⊙P 相切； （C ）y 轴与⊙P 与相切； （D ）y 轴与⊙P 相交． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果23x y =，那么22x yx y+-= ▲ ． 8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，35DE BC =，那么CE AE的值等于 ▲ ．9．计算：()223a b b +-=▲ ．10．抛物线22y x x =+的对称轴是 ▲ ．11．二次函数22y x t =+的图像向下平移2个单位后经过点（1，3），那么t = ▲ ． 12．已知在△ABC 中，∠C =90°，AB =12，点G 为△ABC 的重心，那么CG = ▲ ． 13．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC，那么∠A = ▲ 度．14．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，1cot 3B =，BC =3，那么AC = ▲ ．15．已知内切两圆的圆心距为6，其中一个圆的半径为4，那么另一个圆的半径为 ▲ ． 16．如果正n 边形的每一个内角都等于144°，那么n = ▲ ．17．正六边形的边长为a ，面积为S ，那么S 关于a 的函数关系式是 ▲ ． 18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，3cos 5B =， 把这个直角三角形绕顶点C 旋转后得到 Rt △A'B'C ，其中点B' 正好落在AB 上， A'B'与AC 相交于点D ，那么B DCD'= ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：222sin 60cos 45tan 60cos30tan 30cot 45---20．（本题满分10分, 其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知一个二次函数2y x b x c =++的图像经过点（4，1）和（1-，6）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 21．（本题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在线段AB 上，OC =AC =4，CB =8． 求⊙O 的半径． 22．（本题满分10分）第18题图如图，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，右图是侧面示意图。

已知自动扶梯AB 的坡度为1:2.4，AB 的长度是13米，MN 是二楼楼顶，MN ∥PQ ，C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为42°，求二楼的层高BC （精确到0.1米）．（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，在□ABCD 中，E 是AB 的中点，ED 和AC 相交于点F ，过点F 作FG ∥AB ，交AD 于点G ．（1）求证：AB =3FG ；（2）若AB : AC2DF DG DA =⋅．24．（本题满分12分，每小题各4分） 已知，二次函数2y =ax +bx 的图像经过点(5,0)A -和点B ，其中点B 在第一象限，且OA =OB ，cot ∠BAO=2． （1）求点B 的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）过点B 作直线BC 平行于x 轴，直线BC 与二次函数图像的另一个交点为C ，联结AC ，如果点P 在x 轴上，且△ABC 和△P AB 相似，求点P 的坐标．A BCDEFG MNABCPQ25．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD 交射线BC于点E．（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．C B参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A；2．C；3．B；4．D；5．C；6．B．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．2；8．32；9．2a b+；10．直线1x=-；11．3；12．4；13．60°；14．9；15．10；16．10；17．22S a=；18．720．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：原式222223⎛⎫⨯- ⎪=（6分）=……………………………………………………………（4分）=……………………………………………………………（4分）20．解：（1）由题意，得()()22441116b cb c⎧+⋅+=⎪⎨-+⋅-+=⎪⎩．．………………………………………………（2分）解这个方程组，得41bc=-⎧⎨=⎩．．…………………………………………（3分）∴所求二次函数的解析式是241y x x=-+．………………………（1分）（2）顶点坐标是（2，-3）．…………………………………………（2分）对称轴是直线2x=．……………………………………………（2分）21．解：联结OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D．…………………（1分）∵AC=4，CB=8，∴AB=12．∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，…………………………………………（3分）∴CH=2．………………………………………………………………（1分）在Rt CHO∆中，90CHO∠=︒，OC=4 ，CH=2，∴OH=…………………………………………………………（2分）在Rt AHO∆中，90AHO∠=︒，OA =……………………………………………………………（2分）∴⊙O的半径是OA =…………………………………………（1分）22．解：延长CB 交PQ 于点D ．…………………………………………………（1分）∵MN ∥PQ ， BC ⊥MN ，∴BC ⊥PQ ．……………………………………（1分）∵自动扶梯AB 的坡度为1:2.4，∴152.412BD AD ==．…………………（1分） 设5BD k =米，12AD k =米,则13AB k =米．∵AB =13米，∴ 1k =，∴ 5BD =米，12AD =米．…………………（3分） 在Rt CHO ∆中，90CHO ∠=︒，42CAD ∠=︒，∴tan 120.9010.8CD AD CAD =⋅∠≈⨯≈米，…………………………（3分） ∴ 5.8BC ≈米．………………………………………………………………（1分） 答：二楼的层高BC 约为5.8米．23．证明：（1）在□ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，AD ∥BC ，又∵E 是AB 的中点，∴12AF EF FC ED ==，………………………………（2分） ∵FG ∥AB ， ∴FG ∥CD ， ∴13FG AF CD AC ==，……………………（2分）∴13FG AB =， ∴AB =3FG ．………………………………………………（2分） （2）设AB =，AC =，则2AE =，3AF k =．∴6kAE AC ==，AF AB ==，∴AE AF AC AB ==……………………………………………………（1分） 又∵∠EAF =∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF =∠ACB ．…………（2分） ∵FG ∥AB ，AD ∥BC ；∴∠AEF =∠DFG ，∠ACB =∠DAF ，∴∠DFG =∠DAF ． ………………………………………………………（1分） 又∵∠FDG =∠ADF ， ∴△FDG ∽△ADF ， ∴DF DGDA DF=， ∴2DF DG DA =⋅．…………………………………（2分） 24． 解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为点D在Rt ADB ∆中，90ADB ∠=︒，cot 2ADBAOBD?=． ………………………………………………………（1分） 设BD =x ，AD =2x ，由题意，得OA =0B =5，∴OD =2x -5．在Rt ODB ∆中，222OD BD OB +=，∴()222255x x -+=，解得14x =，20x =（不合题意，舍去）．…………………………………（2分） ∴BD =4，OD =3， ∴点B 的坐标是（3，4）． ……………………………（1分）（2）由题意，得2550,934a b a b -=⎧⎨+=⎩．，………………………………………………（2分）解这个方程组，得1,656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． …………………………………………（1分） ∴二次函数的解析式是21566y x x =+．…………………………（1分） （3）∵直线BC 平行于x 轴，∴C 点的纵坐标为4，设C 点的坐标为（m ，4）．由题意，得215466m m +=， 解得13m =（不合题意，舍去），28m =-． ∴C 点的坐标为（-8，4）， BC =11， AB=．……………………………（1分） ∵ABC BAP ∠=∠， ①如果ABC ∆∽BAP ∆，那么AB ABBC AP=， ∴AP =11，点P 的坐标为（6，0）．…………………………………………（1分）②如果ABC ∆∽PAB ∆，那么AB APBC AB=， ∴AP =8011，点P 的坐标为（2511，0）．……………………………………（1分）综上所述，点P 的坐标为（6，0）或（2511，0）．………………………（1分）注：只写出答案没有解题过程得2分．25．解：（1）①∵AP =DP ，∴∠P AD =∠PDA ． ∵∠PDA =∠CDE ，∴∠P AD =∠CDE ．∵∠ACB =∠DCE =90°，∴△ABC ∽△DEC ．…………………………………（1分） ∴∠ABC =∠DEC ，BC DECE AB=． ∴PB =PE ．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =4，BC =3，∴AB =5． 又AP =x ，∴PB =PE =5-x ，DE =5-2x ，∴3552y x=- ∴635y x =-（502x <<）．……………………………………………………（3分）注：其中x 取值范围1分．②设BE 的中点为Q ，联结PQ ．∵PB =PE ，∴PQ ⊥BE ，又∵∠ABC =90°，∴PQ ∥AC ，∴PQ PB BQ AC AB BC ==，∴5454PQ x BQ-==， ∴445PQ x =-，335BQ x =-．……………………………………………（2分）当以BE 为直径的圆和⊙P 外切时，434355x x x -=+- ．……………（1分）解得56x =，即AP 的长为56．……………………………………………（2分）（2）如果点E 在线段BC 延长线上时， 由（1）②的结论可知494455IQ PQ PI x x x =-=--=-，………（1分） 333355CQ BC BQ x x ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．…………………………………（1分）在Rt △CQI 中，CI ===．…（1分）∵CI =AP x =， 解得12013x =，24x =（不合题意，舍去）． ∴AP 的长为2013．…………………………………………………………（1分）同理，如果点E 在线段BC 上时，494455IQ PI PQ x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，333355CQ BC BQ x x ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．在Rt △CQI 中，CI ===． ∵CI =AP ，x =，解得12013x =（不合题意，舍去），24x =． ∴AP 的长为4．……………………………………………………………（2分） 综上所述，AP 的长为2013或4． 注：1、只有答案没有过程时写出2013得1分，写出4得2分．20 13或4得4分．2、有过程但没有进行分类讨论就得出。