综合检测一、选择题1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”.此推理方法是( ) A.完全归纳推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理 答案 B解析 由特殊到一般的推理为归纳推理.故选B.2.复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A.2＋i B.2－i C.5＋i D.5－i 答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i ＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.3.设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A.10 B.10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D.11ln 10答案 B解析 ∵f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10＋lg e ，故选B. 4.如图，在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，若将OP →向左平移1个单位长度后得到O 0P 0→，则点P 0对应的复数为( )A.－iB.1－2iC.－1－iD.1－i 答案 A解析 ∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→对应的复数是－1，∴点P 0对应的复数，即OP 0→对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.5.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要利用归纳假设再证( ) A.n ＝k ＋1时等式成立 B.n ＝k ＋2时等式成立 C.n ＝2k ＋2时等式成立 D.n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 由k ≥2且k 为偶数知选B.6.函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5 D.以上都不对 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a －b ＝0，1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去.7.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①答案 C解析 ②是大前提，③是小前提，①是结论.8.设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，＋∞)B.[－∞，－3]C.(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D.[－5，5] 答案 C解析 因f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，若f (x )在[1,3]上为单调函数且单调递增，则x ∈[1,3]时，x 2＋2ax＋5≥0恒成立，即2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ，而x ∈[1,3]，x ＋5x≥25， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ≤－25，∴2a ≥－25，a ≥－5，若f (x )在[1,3]上单调递减，则x ∈[1,3]时，x 2＋2ax ＋5≤0恒成立，即2a ≤－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ，而x ∈[1,3]时，记h (x )＝x ＋5x ，h max ＝h (1)＝6，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋5x ≥－6，∴2a ≤－6，a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞).9.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则|AG ||GD |＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则|AO ||OM |等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，|AG ||GD |＝2类比|AO ||OM |＝3，故选C. 10.已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A.f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B.f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C.f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D.f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12答案 D解析 函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.故选D.二、填空题11.若实数x ，y 满足(1－i)x ＋(1＋i)y ＝2，则xy 的值是 . 答案 1解析 由(1－i)x ＋(1＋i)y ＝2得(x ＋y )＋(－x ＋y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1.12.由抛物线y ＝12x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________.答案133解析 如图所示，S ＝⎠⎛1312x 2d x ＝16x 3⎪⎪⎪31＝16(33－13)＝133. 13.已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是________. 答案 [3,12]解析 因为f (x )有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示.因为f (－1)＝2b －c ，由图知经过点A (0，－3)时，f (－1)取得最小值3，经过点C (0，－12)时，f (－1)取得最大值12，所以f (－1)的取值范围为[3,12].14.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________.答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n ，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题15.(1)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i 的虚部.(2)已知z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i(i 为虚数单位)，且z 1z 2为纯虚数，求实数a 的值.解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ， 得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋2，3－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.∴z ＝3＋4i ，复数z2＋i ＝3＋4i 2＋i ＝2＋i ，虚部为1.(2)z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝3a －8＋(4a ＋6)i 25，且z 1z 2为纯虚数， 则3a －8＝0，且4a ＋6≠0，解得a ＝83.16.已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴⎝⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.17.已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.(1)解 S n ＋a n ＝2n ＋1，当n ＝1时，S 1＝a 1，∴a 1＋a 1＝2×1＋1，得a 1＝32.当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2，则a 1＋a 2＋a 2＝5，将a 1＝32代入得a 2＝74，同理可得a 3＝158.∴a n ＝2n ＋1－12n＝2－12n . (2)证明 当n ＝1时，结论成立.假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k ＝2－12k .当n ＝k ＋1时，S n ＋a n ＝2n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2a k ＋1＝4－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1成立.∴根据上述知对任意n ∈N *，结论成立.18.已知函数f (x )＝ln |x |(x ≠0)，函数g (x )＝1f ′(x )＋af ′(x )(x ≠0).(1)当x ≠0时，求函数y ＝g (x )的表达式；(2)若a ＞0，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积.解 (1)∵f (x )＝ln |x |，∴当x ＞0时，f (x )＝ln x ，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )，∴当x ＞0时，f ′(x )＝1x ，当x ＜0时，f ′(x )＝1－x·(－1)＝1x ，∴当x ≠0时，函数y ＝g (x )＝x ＋a x . (2)由(1)知当x ＞0时，g (x )＝x ＋ax ，∴当a ＞0，x ＞0时，g (x )≥2a ，当且仅当x ＝a 时取等号，∴函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2a ，∴2a ＝2， ∴a ＝1.(3)由⎩⎨⎧y ＝23x ＋76，y ＝x ＋1x，得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝136，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝52， ∴直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积S ＝232271()()36x x x ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦⎰dx ＝724＋ln 3－2ln 2.。