（四）灵敏度分析
在实践中， 在实践中，由(2.3.7)式定义的灵敏度需要数值计 式定义的灵敏度需要数值计 算得到列表的结果（ 算得到列表的结果（见表 2.3）. ） 的灵敏度（ =10） 表 2.3 数值计算 t 对 r 的灵敏度（r=1,t=10） t t r (%) t (%) S (t , r ) = r+r t+t r r r t 1.01 1.05 1.1 1 5 10 10.644 13.095 15.909 6.4356 30.952 59.091 6.4356 6.1905 5.9091
（四）灵敏度分析
(2.3.11) 定义 t 对 g 的灵敏度为 S (t , g ) = t t g g 由(2.3.11)式数值计算得到的结果见表 2.4. 式数值计算得到的结果见表 的灵敏度（ =10） 表 2.4 数值计算 t 对 g 的灵敏度（g=0.08,t=10） t t g (%) t (%) S (t , g ) = g+g t+t g g g t 0.0808 1 9.4554 -5.4455 -5.4455 0.084 5 7.381 -26.19 -5.2381 0.088 10 5 -50 -5
（五）强健性分析
更实际的模型应考虑非线性和不确定性， 更实际的模型应考虑非线性和不确定性，则所求 的优化目标函数可以写成 (2.3.15) Q(t ) = p (t ) w(t ) C (t ) p (0) w(0) 假设(2.3.15)式中的所有函数均可导，于是求导可得 假设 式中的所有函数均可导， Q′(t ) = p′(t ) w(t ) + p(t ) w′(t ) C ′(t ) 所以如果 Q(t)在 t 取得极值，t 应该满足 在 取得极值， (2.3.16) p′(t ) w(t ) + p (t ) w′(t ) = C ′(t ) 在经济学上，出售的最佳时机恰好在单位时间内 在经济学上，出售的最佳时机恰好在单位时间内 增加的出售收入等于单位时间内增加的投入的时候. 等于单位时间内增加的投入的时候 增加的出售收入等于单位时间内增加的投入的时候
（三）模型建立和求解
t ～ 从现在开始计算的饲养生猪的天数， t ≥ 0 从现在开始计算的饲养生猪的天数， C(t) ～ 农场在未来 t 天内累计投入的资金（元） 内累计投入的资金 投入的资金（ c ～ 农场每天投入的资金（元） 农场每天投入的资金（ w(t) ～ 生猪在第 t 天的体重（公斤） 生猪在第 天的体重 公斤） 体重（ r ～ 生猪体重每天的增加值（公斤 天） 生猪体重每天的增加值 公斤/天 p(t) ～ 在第 t 天的生猪出售的市场价格（元/公斤） 天的生猪出售的市场价格（ 公斤 生猪出售的市场价格 公斤） g ～ 生猪出售市场价格每天的降低值（元/公斤 天） 生猪出售市场价格每天的降低值（ 公斤 市场价格每天的降低值 公斤/天 R(t) ～ 在 t 天之后出售生猪的收入（元） 天之后出售生猪的收入 出售生猪的收入（ Q(t) ～ 在 t 天之后出售比现在多赚的纯利润（元）. 天之后出售比现在多赚的纯利润 出售比现在多赚的纯利润（
（五）强健性分析
以上所讨论的更一般的数学模型应用在实际当 中，遇到的困难是难以获得模型中的那些函数的准确 形式， 形式，而且讨论在数学上是任意非负实数的出售时机 t 和价格 p(t)也不一定有实际意义 依据近期的生猪的 也不一定有实际意义. 也不一定有实际意义 饲养情况和市场价格的走势， 饲养情况和市场价格的走势，给出未来不长的一段时 的估计值或者预测值， 间内关于 p′(t ) 、 w′(t ) 和 C ′(t ) 的估计值或者预测值， 并且简化为常数， 从而采用确定性的、 线性化的模型， 并且简化为常数， 从而采用确定性的、 线性化的模型， 这应该是可行而合理的建模方法. 这应该是可行而合理的建模方法
（三）模型建立和求解
所以在 天之后出售生猪的收入 出售生猪 所以在 t 天之后出售生猪的收入 R(t ) = p(t ) w(t ) = p(0) w(0) + {rp(0) gw(0)} t grt 2 于是在 t 天之后出售生猪比现在出售多赚的纯利润 天之后出售生猪比现在出售多赚的纯利润 出售生猪比现在出售多赚 为： Q(t ) = R (t ) C (t ) p (0) w(0) (2.3.3) 2 = {rp (0) gw(0) c} t grt (2.3.3)式就是所求的优化目标函数，要求出当 t 取何 式就是所求的优化目标函数， 式就是所求的优化目标函数 值时，Q(t)达到最大值. 这是求二次函数最大值问题. 值时， 达到最大值 这是求二次函数最大值问题 达到最大
第2章
数学建模概述
2.3节 2.3节
生猪出售时机
（一）问题提出
元资金用于饲料、 设备和人力， 农场每天投入 3.2 元资金用于饲料、 设备和人力， 公斤重的生猪每天增重 公斤. 估计可使一头 90 公斤重的生猪每天增重 1 公斤 现在 公斤， 生猪出售的市场价格为 12 元/公斤，但是预测每天会 公斤 公斤. 降低 0.08 元/公斤 问应该什么时候出售生猪？ 公斤 问应该什么时候出售生猪？ 如果上述估计或预测的数据发生变化， 如果上述估计或预测的数据发生变化，对结果有 多大影响呢？ 多大影响呢？
（四）灵敏度分析
r 和 g 的微小变化对最佳出售时机 t 有一定的影 的微小变化对最佳出售时机 有一定的影 不过影响并不算剧烈. 并不算剧烈 响，不过影响并不算剧烈 在本案例中，在较短的时段内农场每天投入 农场每天投入的成 在本案例中，在较短的时段内农场每天投入的成 本大致是保持不变的， 本大致是保持不变的，而生猪每天增加的体重也较容 易得到准确的估计值， 易得到准确的估计值，但是生猪出售的市场价格会经 常发生波动， 的灵敏度. 常发生波动，所以最为需要的是计算 t 对 g 的灵敏度
（三）模型建立和求解
模型假设： 模型假设： 常数， （1）农场每天投入的资金 c 为常数，c=3.2 元， ） 即 C (t ) = ct 生猪出售的市场价格为 （2）现在生猪出售的市场价格为 p(0)=12 元/公 ）现在生猪出售的市场价格 公 价格每天的降低值 常数， 公斤/天 斤，价格每天的降低值 g 为常数，g=0.08 元/公斤 天， 公斤 (2.3.1) 于是 p (t ) = p (0) gt 公斤， （3） ） 现在生猪的体重为 w(0)=90 公斤， 体重每天 增加值 常数， 公斤/天 的增加值 r 为常数，r=1 公斤 天，于是 (2.3.2) w(t ) = w(0) + rt
g=0.1 , r p(0) - g w(0) - c < 0
0
5 t
10
15
0
2 t
4
6
图2.5
（四）灵敏度分析
灵敏度分析，就是分析数学模型的某个参数变 灵敏度分析，就是分析数学模型的某个参数变化 模型的某个参数 模型的解答的变化程度 的变化程度. 时模型的解答的变化程度 可以在其它参数固定不变 的情况下， 的情况下，考察某个参数发生微小变化时模型解答所 发生的变化. 这里所说的变化是相对变化， 发生的变化 这里所说的变化是相对变化，即改变量 与原值的比值. 与原值的比值 的变化对 本案例要求评估参数 g 或 r 的变化对模型解答的 影响. 影响
实际上，在较短的时段内农场每天投入的成本大 实际上，在较短的时段内农场每天投入的成本大 农场每天投入 致是保持不变的， 致是保持不变的，而生猪每天增加的体重也较容易得 到准确的估计值， 到准确的估计值，但是生猪出售的市场价格会经常发 生波动. 生波动. 按照题意，可以先假设农场每天投入的成本、 农场每天投入的成本 按照题意，可以先假设农场每天投入的成本、生 猪每天增加的体重和生猪出售的市场价格的每天的 降幅都是常数，建立和求解数学模型， 降幅都是常数，建立和求解数学模型，得到生猪出售 的最佳时机，然后讨论参数变化对模型解答的影响， 的最佳时机，然后讨论参数变化对模型解答的影响， 最后讨论模型解答对模型假设的依赖性. 最后讨论模型解答对模型假设的依赖性
（2）如果 rp(0) gw(0) c ≤ 0 ，则当 t=0 时 Q(t) ） 取得最大 最大值 ，即与其继续饲养，不如立即出售. 取得最大值 0，即与其继续饲养，不如立即出售
g=0.08 , r p(0) - g w(0) - c > 0 8 7 6 -1.5 5 4 3 2 -4 1 0 -4.5 -5 Q Q -2 -2.5 -3 -3.5 0 -0.5 -1
（四）灵敏度分析
为例， 的变化对最佳出售时机 首先以 r 为例，研究 r 的变化对最佳出售时机 t 影响. 的影响 可以考虑如果 r 发生的相对变化为 r r ，则 t 发生的相对变化 t t 是 r r 的多少倍， 定义 t 对 r 的多少倍， 即 的灵敏度为 t t (2.3.7) S (t , r ) = r r 解释成： 解释成：如果 r 增加 1%，则 t 变化的百分比是 1%的 ， 的 S(t,r)倍. 如果 S(t,r)很小，则 t 对 r 不灵敏；反之，则 很小， 不灵敏；反之， 倍 很小 t 对 r 灵敏，r 的微小变化会带来 t 的较大的变化 灵敏， 的较大的变化.
（四）灵敏度分析
重新定义 t 对 g 的灵敏度为 S (t , g ) = dt g . dg t 函数： 注意 t 是 g 的减函数： t = rp (0) c 1 w(0) . 为 2r 2r 了使 t>0，g 应该满足 rp (0) gw(0) c > 0 . 所以 ， c rp (0) (2.3.14) S (t , g ) = rp (0) gw(0) c 代入具体数值 具体数值， 代入具体数值，可算出 S (t , g ) = 5.5 .
（四）灵敏度分析
令 r→0， ， 就有 S (t , r ) = t t = t r → dt r ， 所 r r r t dr t 以我们重新定义 t 对 r 的灵敏度为 S (t , r ) = dt r . dr t 的增函数： 注意 t 是 r 的增函数： t = p (0) gw(0) + c 1 . 为 2g 2g r 了使 t>0，r 应该满足 rp (0) gw(0) c > 0 . 所以 ， gw(0) + c (2.3.10) S (t , r ) = rp (0) gw(0) c 代入具体数值， 代入具体数值，可算出 S(t,r)=6.5.