表1 r与t的关系
r t r t
1.5 0 2.3 13.9
1.6 2.5 2.4 15.0
1.7 4.7 2.5 16.0
1.8 6.7 2.6 16.9
1.9 8.4 2.7 17.8
2.0 10.0 2.8 18.6
2.1 11.4 2.9 19.3
2.2 12.7 3.0 20.0
图3 r与t关系
猪重 售猪单价
出售时机,使获得利润最大.这是一个
优化问题,根据给出的条件,可作如下 的简化假设.
80 8猪体重增加常数r(=2公斤);生猪出售的
市场价格每天降低常数g(=0.1元) 给出以下记号：
t
w
增重阶段的饲养天数—待优化的变量又叫决策变量 生猪体重(公斤)
p
S (t , g ) t / t dt g 3 3 g / g dg t 3 20 g
即生猪价格每天的降低g增加1%,出售时间提前3%,r 和g的微小变化对模型结果的影响并不算大.
模型 模型假设 观测数据 模型的强健性: 模型的结构和参数是由模型假设及对象的信息(观测数 据)确定的.而假设不可能很准确,观测数据也常常有误差. 模型结构 模型参数
第t天生猪出售的纯利润函数为
Q(t ) p(t )w(t ) 4t 640
毛利润 成本部分
(8)
Q '(t ) 如何认识?
Q '(t ) p(t ) ' w(t ) p(t )w(t ) ' 4
由导数的定义,可以近似地看成每天的利润变化量. 当T使得 Q '(T ) 0 于是 t<T, Q '(t ) 0 t>T, Q '(t ) 0 因此t=T时,是最佳卖点 对应利润正增量 对应利润负增量
0.13 3.1
0.14 1.4
0.15 0
图4
40r 60 60 t (r ) t '(r ) 2 r r 4 40 2 4 2 t '( g ) ( )' 2 2 g r rg g rg
可以用相对改变量来体会出售时机t对参数的敏感
程度.t对r的敏感度记作S(t,r),定义为
2.设生猪体重r不变,研究g变化的影响,由(2)式可得
t
3 20 g 3 20 g g
, 0 g 0.15
(4)
表2 g与t的关系
t是g的减函数,表2和图4给出它们的关系.
g t 0.06 30.0 0.07 22.9 0.08 17.5 0.09 13.3 0.10 10.0 0.11 7.3 0.12 5.0
当模型假设改变时,应该导出模型结构的相应变化;
当观测数据有微小改变时,模型参数也应有微小的变化
强健性分析(Robustness)
建模过程中假设了生猪体重的增加和价格的降低都是
常数,由此得到的w和p都是线性函数,这无疑是对现实 情况的简化.更实际的模型应考虑非线性和不确定性. 如记第t天生猪的重量为w=w(t)公斤. w’(t)的意义?
t / t dt r S (t , r ) r / r dr t
(5)
由(3)式,当r=2时可算出
原来关注的是绝对数值的关联,现在关注的是相对数值的关联
60 S (t , r ) 3 40 r 60
(6)
即生猪每天体重r增加1%,出售时间推迟3%. 类似地定义t对g的敏感度S(t,g),由(4)式,当g=0.1时, 可算出
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数或微分法容易得到
4r 40 g 2 rg
t
（2）
当r=2,g=0.1时，t=10,Q(10)=20,即10天后出售，可得最大纯利润20元。 敏感性分析 由于模型假设中的参数（生猪每天体重的增加r和价格的 降低g）是估计和预测的，所以在实际使用这个模型时,应该研究r,g变 化时对出售时机的影响。
(以10天为基础值30%以内)
若设p’(t)=-0.1是最坏的情况,即每天降价要小于0.1元,则 饲养的时间就可以更长.所以最好的办法是:过大约一周
后重新估计p,p’,w,w’,再作计算.
评注 这个问题本身及其建模过程都非常简单,我们着重 介绍的是它的敏感性分析和强健性分析,这种分析对于一 个模型,特别是优化模型,是否真的能用,或者用的效果如 何,是很重要的.
(9)
本例中p’(t)=-0.1,w’(t)=2是根据估计和预测确定的,只 要它们的变化不大,上述结论就是可用的. 另外,从敏感性分析知,出售时机t相对每日增重r的变化为 S (t,r)=3,所以,若
1.8≤w’(t) ≤2.2
第t天的增重 则结果应为 10-3≤t ≤10+3
(以2公斤为基础值,10%以内)
半期考试复习提纲
1、数学模型的构成 2、数学模型与数学建模的不同 3、数学模型与计算机模拟的关系 4、在人口模型中，反复讨论参数拟合的意义何在？
5、在人口问题中，关注从一般拟合到线性拟合 6、在人口问题中，如何从函数的导数推知函数 7、数学建模的一般步骤 8、模型的强健性、敏感性分析的含义及意义 9、洞察力、想象力、直觉、灵感由何而来 11、表述Q值法 12、在双层玻璃窗的讨论中，认识(2)式 13、指出动物身长讨论中的精彩之处 14、两人持有数量不等的n种物品进行实物交换，列出讨论要点 15、在核军备竞赛中 认识模型精细化中的隐函数
w(t t ) w(t ) w(t t ) w(t ) w(t 1) w(t ) w'(t ) lim t 0 t t 1
w’(t)可视为第t天的增重 第t天生猪的出售价格为p=p(t)元/公斤, p’(t)的意义? p(t t ) p(t ) p(t t ) p(t ) p(t 1) p(t ) p'(t ) lim t 0 t t 1 p’(t)为第t天的价格变化量
（r） t 4r 40 g 2 rg
t(g) 4r 40 g 2 rg
1.设每天生猪价格的降低g=0.1元不变,研究r变化的影响,由(2)式可得
t 40r 60 , r 因为g取为0.1, 而t不能为负数，所以r 1.5
（3）
t是r的增函数,表1和图3给出它们的关系.
3.1生猪的出售时机
一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力,估计可使一头80
公斤重的生猪每天增加2公斤.目前生猪出售的市场价格为每公斤8元.可
赚多少?但是预测每天会降低0.1元,问该场应该什么时候出售这样的生猪. 如果上面的估计和预测有出入,对结果有多大影响. 问题分析 投入资金延长饲养时间 可使生猪体重随时间增长,但售价(单 价)随时间减少,应该存在一个最佳的
Q(t ) (8 gt)(80 rt ) 4t 640
求t（≥0）使Q(t)最大.
(1)
Q '(t ) g (80 rt ) (8 gt )r 4
令Q '(t ) 0 即 g (80 rt ) (8 gt )r 4 0 4r 40 g 2 得 t gr
16、针对下述图形表达的“扬帆远航”，列出讨论要点
帆 正东风
A
B
17、认识 pi 定理 18、在无量纲化方法中，推导(39)到(41)式 19、优化问题中的科学方法？ 20、在EOQ公式和森林救火中，合理的简化问题体现在哪几点 21、用朴素的语言表达生猪的出售时机；商品的最优价格。
R C Q
出售生猪的单价(元/公斤)
出售生猪的毛收入(元) 增重阶段，到第t天时，投入的总资金(元) 出售生猪的纯利润(元).
模型建立
饲养t天的猪重w=80+rt 饲养t天的单价p=8-gt
饲养t天的毛利R=pw,
饲养t天的成本投入C=4t 饲养t天出售生猪可获得的纯利润Q=R-C-8×80
这里要扣掉以当前价格(8元/公斤)出售80公斤生猪的收入640元 目标函数(第t天的纯利润)为
Q '(t ) p(t ) ' w(t ) p(t )w(t ) ' 4
第t天的利润增量
第t天的毛利润增量 第t天的成本增量
用微分法求解(8)式的极值问题,可知最优解 t 应满足 Q '(t ) p(t ) ' w(t ) p(t )w(t ) ' 4 =0 p' (t )w(t ) p(t )w' (t ) 4 因为没有给出p(t),w(t)解析式,所以下述的文字判别很重 要.(9)式左端是每天毛利润的增值,右端是每天投入的资 金.于是出售的最佳时机是保留生猪直到毛利润的增值 等于每天投入的资金为止.