章末检测一、选择题1.设f (x )为可导函数，且满足lim x →f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A.2 B.－1 C.1 D.－2答案 B 解析 lim x →f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0 f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2.函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( ) A.(－∞，－1)和(0,1) B.(－1,0)和(1，＋∞) C.(－1,1) D.(－∞，－1)和(1，＋∞)答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3.一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 J D.2 3 J答案 C解析 由于F (x )与位移方向成30°角.如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，W ＝⎠⎛12(5－x 2)·cos 30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝32×83＝433(J). 4.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x 等于( )A.－1B.－13C.13D.1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝(13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x )⎪⎪⎪10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.5.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－3) B.[－3，3] C.(3，＋∞) D.(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 6.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2 B.ln 2 C.ln 22 D.e答案 D解析 ∵f ′(x )＝x (ln x )′＋(x )′·ln x ＝1＋ln x ， ∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，∴x 0＝e.7.设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A.在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B.在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C.在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点D.在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3；令f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0.8.已知一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1 m 处运动到x ＝3 m 处，则力F (x )所做的功为( ) A.10 J B.12 J C.14 J D.16 J 答案 C解析 力F (x )所做的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )⎪⎪⎪31＝14(J). 9.由x 轴和抛物线y ＝2x 2－x 所围成的图形的面积为( ) A.⎠⎛05(2x 2－x )d xB.⎠⎛05(x －2x 2)d xC.⎠⎜⎛012 (x －2x 2)d xD.⎠⎜⎛012 (x ＋2x 2)d x答案 C解析 先计算出抛物线与x 轴的交点的横坐标，分别为x 1＝0，x 2＝12，且在0＜x ＜12内，函数图象在x 轴下方，则由定积分的几何意义可知，所求图形面积的积分表达式为⎠⎜⎛012 (x －2x 2)d x .10.函数f (x )＝x e x －e x ＋1的单调递增区间是( )A.(－∞，e)B.(1，e)C.(e ，＋∞)D.(e －1，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋x e x －e x ＋1＝(x －e ＋1)e x ，由f ′(x )＞0，得x ＞e －1.故选D.二、填空题11.若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝ . 答案 －1解析 求导得y ′＝k ＋1x，依题意k ＋1＝0，所以k ＝－1.12.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 答案 a ≥3解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立，故a ≥3.13.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值. 其中正确的说法有 . 答案 ①④解析 从图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )＞0，于是f ′(x )＞0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误； 当0＜x ＜1时，f (x )在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，故④正确.14.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 015x 1＋log 2 015x 2＋…＋log 2 015x 2 014的值为 . 答案 －1解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.∴log 2 015x 1＋log 2 015x 2＋…＋log 2 015x 2 014 ＝log 2 015(x 1·x 2·…·x 2 014)＝log 2 015⎝⎛⎭⎫12·23·…·2 0142 015＝log 2 01512 015＝－1. 三、解答题15.设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程. 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3.∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y ＝16.16.设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0， 得x 1＝0，x 2＝a . f (0)＝b ，f (a )＝－a 32＋b,f (－1)＝－1－32a ＋b ，f (1)＝1－32a ＋b .因为23<a <1，所以1－32a <0，故最大值为f (0)＝b ＝1，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故a ＝63，b ＝1. 17.已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.(1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)求证(x －1)f (x )≥0.(1)解 f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x ，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x－x ≤a .令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.x ＝1是g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－1. 综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞).(2)证明 由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即ln x －x ＋1≤0.当0＜x ＜1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1≥0.∴(x －1)f (x )≥0.18.已知函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (a ＞0).(1)当f (x )的极小值为－73，极大值为－1时，求函数f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[1,2]上为增函数，在区间[6，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )，令f ′(x )≥0，得a ≤x ≤3a ，令f ′(x )≤0，得x ≥3a 或x ≤a ，∴f (x )在(－∞，a ]上是减函数，在[a,3a ]上是增函数，在[3a ，＋∞)上是减函数，∴f (x )在x ＝a 处取极小值，在x ＝3a 处取极大值.由已知有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－73，f (3a )＝－1，即⎩⎨⎧－13a 3＋2a 3－3a 3＋b ＝－73，－13×27a 3＋18a 3－9a 3＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x －1.(2)由(1)知f (x )在(－∞，a ]上是减函数，在[a,3a ]上是增函数，在[3a ，＋∞)上是减函数，∴要使f (x )在区间[1,2]上为增函数，在区间[6，＋∞)上是减函数，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，3a ≥2，3a ≤6，解得23≤a ≤1.。