单调区间为 ( ,0]， [0, ).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内可 导（ . 1） 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y ； 3 2 4x 9x 6x 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 2
( a 0 )；
三、 证明下列不等式： 1、 当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； 1 2、 若 x 0，则 sin x x x 3 . 6 （圆扇形面积＝1/2 半径 2×角度）
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
三、小结
定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性证明不等式.
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
练习题
一、 填空题： 1、 函 数 y 2 x 3 6 x 2 18 x 7 单 调 区 间 为 ________ _____________. 2x 2、 函数 y 在区间________上单调增， 2 1 x 在_________上单调减.
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x

f ( x) 0( f ( x) 0)
是判断函数单调增加的充分条 件，而不是必要条件。如：
Y=x3,D=R.为单调增加函数，但y’|x=0 =0
二、单调区间求法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．